专题02数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2025年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：累加法 2 题型二：累乘法 4 三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 6 一、必备秘籍 一、累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 二、累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 二、典型题型 题型一：累加法 1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 2．（2024·云南大理·模拟预测）在数列中，，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； 3．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）在数列中，. (1)证明：是等比数列. (2)求的通项公式. 4．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前9项和，且，，成等比数列． (1)若数列满足，，求数列，的通项公式； 5．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知数列的前n项和为，且.在数列中，，. (1)求，的通项公式； 6．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，且对任意正整数都有，. (1)求数列的通项公式； 题型二：累乘法 1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； 2．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设为数列的前项和，已知，且为等差数列． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的前项和． 3．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列中，（，）. (1)求数列的通项公式． 4．（23-24高三上·贵州安顺·期末）记为数列的前n项和，已知，且，. (1)求的通项公式； 5．（2023高二上·全国·专题练习）已知数列满足，求的通项公式. 6．（2023高二上·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式. 三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 1．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且， (1)求数列的通项公式； 2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：． (1)求数列的通项公式； 3．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）（1）在数列中，已知，且，求 4．（2024高三·全国·专题练习）在①当时，，②数列与均为等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知正项数列满足，______． (1)求数列的通项公式； 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 5．（23-24高二上·河北唐山·期末）数列满足，，. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； 6．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； 7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； 8．（2024高三·全国·专题练习）设为数列的前n项和，已知．求的通项公式； 9．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列的前项和，对任意正整数，有 ，且 . (1)求数列的通项公式； 10．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； 11．（23-24高三下·山东德州·开学考试）已知数列前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； 12．（2024·广东深圳·一模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：累加法 2 题型二：累乘法 6 三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 9 一、必备秘籍 一、累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 二、累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 二、典型题型 题型一：累加法 1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)； 【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式；