第11章 因式分解 综合提升-【优+学案】2023-2024学年七年级下册数学课时通(冀教版)

本章综合提升(答案P32) ·. 本章知识归纳 1.把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式 也叫做 2.因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即 运算,二者是一个式子的 因式分解 不同表现形式,园式分解是 因式积的表现形式,整式乘法是_的 表现形式 3.多项式ma+mb+mc中,各项都含有一个公共的因式_,因式_叫做 这个多项式各项的 4.确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”: 十|区小 (1)定系数,即确定各项系数的 公约效; (2)定字母,即确定各项的字母因式(或相问多项式因式); (3)定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的 次 提公因式法 5.提公因式法;如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式 的形式,这种分解因式的方法叫做 法 6.口诀:找准 _,一次要提净:全家都搬走,留 把家守;提 要 变号,变形看 7.如晃把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫 平方差公式: 完全平方公式: 公式法 》》》 思想方法归纳 ,图②中阴影部分的面积 1.数形结合思想 S.二 (2)写出利用图①和图②的面积关系所揭示 链接本章) 的因式分解的公式: 结合不同几何图形,计算其面积,理解因式 (3)如图③所示,将一张长方形纸板按图中 分解的意义. 实线裁剪成12块,其中有两块是边长都为n的 【例1】 模型观念“以形释数”是利用数形 大正方形,3块是边长都为n的小正方形,7块是 长为n,宽为n的全等小长方形,且m>n.观察 结合思想证明代数问题的一种体现 图形,可以发现代数式2m}+7mn十3n}可以因 Hn 式分解两个二项一次式的乘积,那么这两个二项 一次式分别是什么? ① (1)如图①所示,边长为?的正方形中有一 个边长为6(<a)的小正方形,如图②所示是由 图①中的阴影部分拼成的一个长方形,请直接用 含a,b的代数式表示图①中阴影部分的面积 数学年级下册J 136 【变式训练1】 【例2】 阅读下列材料 若干张正方形和长方形卡片如图①所示,其 材料1 将一个形如x}十x十a的二次三项 中甲型、乙型卡片分别是边长为a,b(a→b)的正 式因式分解时,如果能满足a一且=n十n, 方形,丙型卡片是长为a、宽为的长方形,选取 则可以把x十x十a因式分解成(x十m)(x十 2块甲型卡片,2块乙型卡片,5块丙型卡片,拼成 n). 如图②所示的大长方形卡片。 (1)x*+4x+3-(x+1)(x+3); (1)观察图②,写出一个多项式的因式分解 (2)-4x-12-(x-6)(x+2). 为 材料2 因式分解:(x十y)*+2(x十y)+1. (2)若图②中甲型、乙型卡片的面积和为 解:将“x十y”看成一个整体,令x十y=A. 136.大长方形卡片的周长为60,求大长方形卡片 则原式-A*+2A+1-(A+1)*, 的面积. 再将“A”还原,得原式一(x十y十1)。 { 上述解题用到“整体思想”,整体思想是数学 解题中常见的一种思想方法,请你解答下列 问题: ① ② (1)根据材料1,把x②-6x十8分解因式 (2)结合材料1和材料2,完成下面小题; ①分解因式:(x-y)?十4(x-y)十3. ②分解因式;m(m+2)(m+2m-2)-3 2.整体思想 链接本章 利用公式法因式分解及特殊的分解方法十 字相乘法等,灵活运用公式是解题的关键, 137 优+学察·课时通 【变式训练2】 》》》 通模拟 观察下列因式分解的过程: 1.(2023·那台期中)下列式子中,不能用平方差 (1)r2-xy+4x-4y 公式运算的是( -) -(x-xy)十(4x-4y)(分成两组) A.(-x-y)(-x十y) =x(x一y)十4(x-y)(直接提公因式) B.(-x十y)(x-y) -(x-y)(x十4). C.(y十x)(x一y) (2)a-b*-c*+2bc D.(y一x)(x十y) -a一(6*+c*-2bc)(分成两组) 2.(2023·张家口宣化区期末)下列多项式能用 -a一(一c)(直接运用公式) 平方差公式分解因式的是( ) -(a十b一c)(a-b十c). A.4x十y2 B.-4r*-2} (1)请仿照上述分解因式的方法,把下列各 C.-4x+y2 D.-4x十* 式分解因式: 3.(2023·保定期末)分解因式:a{(x-y)十 ①ad-ac-bd+bc. 9(y-x)= ②x?-?-6x十9. 4.(2023·秦皇岛卢龙县期末)因式分解: (2)请运用上述分解因式的方法,把多项式 (1)2ar②-18a; 1+x+x(1十x)+x(1十x)十..十x(1十x)”分 解因式. (2)2a*b-8a6+86. 5.(2023·衡水二模)发现 两个相邻奇数中,较 大奇数与较小奇数的平方差一定是8的倍数. 验证 计算5{}一3^{}的值,并求这个值是8的 几倍. 探究 设“发现”中较小的奇数为2n士1,请论 证“发现”中的结论正确 数学 C年下册 JJ 138 6.(2023·衡水阜城县月考)如果一个正整数能 8.(2023·保定曲阳期末)常用的分解因式的方 表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正 法有提取公因式法、公式法,但有一部分多项 整数为“友好数”,如:①8-3^{}-1^*;②16-5^{}$ 式只单纯用上述方法就无法分解,如x^{}一 3}③24-7*}-5^{,因此8,16,24都是“友 2xy十y一16,我们细心观察这个式子,会发 好数”。 现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可 (1)32是“友好数”吗?为什么? 以与第四项结合,再应用平方差公式进行分 (2)若一个“友好数”能表示为两个连续奇数 解,过程如下; 2+1和2一1(为正整数)的平方差,则这 *-2xy+y-16=(-y)*-16=(-+$ 个“友好数”是8的倍数吗?请用因式分解的 4)(x一y一-4),这种分解因式的方法叫分组分 方法进行说明. 解法. 利用这种分组的思想方法解决下列问题 (1)9a*+46②-25m-n+12ab+10mn. (2)已知a,,c分别是△ABC三边的长且 $a^}+b+c*-2a(b+c)-0,请判断△ABC 的形状,并说明理由 7.(2023·石家庄三模)发现:当两个不同的正整 数同为偶数或奇数时,这两个数之和与这两个 数之差的平方差一定能被4整除,且这两个数 的积可以表示为两个正整数的平方差 验证:如,(3十1)}-(3-1)-12能被4整除 请把3与1的积写成两个正整数的平方差。 探究:设“发现”中两个正整数分别为n,n,请 论证“发现”中的结论正确 》》》通中考 9.(2023·河北中考)若为任意整数,则(2十 3)*-4的值总能( ) A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 10.对于①x-3xy=x(1-3y).②(x+3)(x- 1)=文{}十2x一3,从左到右的变形,表述正确 的是( ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 139 优学赛·课时通8.解:(1)如图所示. (2)原式=(1+r)十r(1十r)十x(1+r)++x(1+x)” -(1+x)[1+r+x(1+r)+x(1+r)十..+x(1 r)']-(1+x)(1+x)”-(1+x). ) 【通模拟】 (3a+26)(a+b) 1.B 2.C 3.(r-y)(a+3)(a-3) (2)①②③ 4.解:(1)原式-2a(r-9)-2a(r+3a)(x-3a). 本章综合提升 (2)原式-2b(a*-4a+4)-2b(a-2). 【本章知识归纳】 5.解:验证 5-3{-16-2×8,故5^{-3{}的值是8的2倍。$ 分解因式 1.因式分解。 探究 设“发现”中较小的奇数为2n十1,则较大的数为2n 2.互逆 两个或几个 多项式 3.n为正整数. 3.m n 公因式 ..(2n+3)-(2n+1 4.(1)最大(3)最低 -(2n+3+2n+1)(2n+3-2n-1) 5.乘积 提公因式 -8(n+1). 6.公因式 1负 奇偶 ..8(n+1) )-n十1.且n为正整数, 7.公式法。 -b-(a+b)(a-b)a 士2ab+b}-(a士b) $ 8 【思想方法归纳】 '.“发现”中的结论正确 【例1】思路分析:(1)根据S.-S.:家”-S&的。可求 6.解:(1)32是“友好数”. ·32-9-7..32是“友好数” 得S.根据长方形的面积公式可求得S。; (2)是,理由如下: (2)根据图①和图②中阴影面积相等的关系,可直接写比 答案; ·(2+1) -(2-1)-(2 +1+2 -1)2^+1-2^ + (3)根据长方形纸板的面积的不同计算方法列式即可得到 1)-4x2一8,b为正整数,.'.8是8的倍数,*这个“友好 答案。 数”是8的倍数. (1)-b(a十b)(a-b) 7.解:验证;3×1-2-1. (2)a-b-(a+b)(a-b) 探究;(m+n)-(m-n)-m}+2mn+n-(m}-2mn+ (3)m+3n.2m+n n)-4nn. '.n,n是正整数, 【变式训练1】解:(1)2+5ab+2-(2a+b)(a+2) (2)7题图②中甲型、乙型卡片的面积和为136. '.(m十n)一(n一n)一定能被4整除. '2a+2-136,即a+b-68$ 由上面的算式可知, (n十n):-(m一n): (n叶n)} .大长方形卡片的周长为60. (m一~n) n二 _ '.2(2+b)+(+2)]-60.即a+b-10 (“”){-(“二”“). .(a+b)-a+b+2ab, .10-68+2ab. .正整数m,n同为偶数或奇数. .a6-16. 'm十n,n一n都是偶数. ·2+5ab+2-136+5×16-216. ._”和”二”都是整数,且””是正整数, .大长方形卡片的面积为216. 2 2 2 【例2】思路分析:(1)利用十字相乘法变形即可得: .mn. (2)①根据材料2的整体思想可以对(x一y)②十4(x-y)十3 分解因式: 2 ②根据材料1和材料2可以对m(m+2)(m{}+2n一2)-3 又'(””)-(”“){。 分解因式。 解:(1)x-6x+8-(--2)(x-4). ..m一定能表示为两个正整数的平方差. (2)①令A-x-y. 8.解;(1)9a+46-25m -+12ab+10mn-(9a+12ab+ 则原式-A+4A+3-(A+1)(A+3) 4)-(25m-10mn十})-(3a+2b)?-(5m-n)?-(3a+ 所以(r-y)+4(r-y)+3-(x-y+1)(r-y+3). 2+5m-n)(3a+2-5m+n). ②令B-n+2n. (2)由2a+b+c-2a(b+e)-0可分解得:2a +b+ - 则原式-B(B-2)-3 2a-2ac-0. -B-2B-3 利用拆项得;(a-2ab+b)+(a-2ac+c)-0,(a-b) -(B+1)(B-3) (-)一0. 所以原式-(n+2n+1)(n+2n-3 根据两个非负数互为相反数,只能都同时等于0才成立,干是 =(n+1)(m-1)(m+3). a-b-0.a-c-0,所以可以得到a-b-c,即△ABC的形状 【变式训练2】解:(1)①原式-(ad一ac)一(b-bc) 是等边三角形. -a(d-)-b(d-o) 【通中考】 -(d-c)(a-b). 9.B 10.C ②原式-(r-6r+9)-y 限时训练 -(r-3)- 6.1 二元一次方程组(1) -(r-3+y)(r-3-y) 1.解:(1)(3)(6)是二元一次方程