专题06二次函数中特殊三角形的存在性（八大题型）60题专练-2024年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

专题06 二次函数中特殊三角形的存在性（八大题型）62题专练 通用的解题思路： 特殊三角形的讨论问题，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角比的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想。虽部分特殊三角形的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边、 角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 一：等腰三角形的存在性 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 二：直角三角形的存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 三：等腰直角三角形的存在性 既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。需要分类讨论哪个角是直角。 四：相似三角形的存在性 相似三角形存在性问题，分类讨论步骤： 第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角； 要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出） ①若有已知的相等角，则其顶点对应； ②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。 第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标： ①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小； ②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。 题型一：等腰三角形的存在性 1．（2024•运城模拟）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，． （1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． （2）当四边形的面积有最大值时，求出的值． （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024•青岛一模）如图1，已知二次函数的图象与轴交于点．与轴交于点，，点坐标为，连接、． （1）请直接写出二次函数的表达式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）如图2，若点在线段上运动（不与点，重合），过点作，交于点，当面积最大时，求此时点的坐标； （4）若点在轴上运动，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点的坐标． 3．（2024•辽宁一模）如图1，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点，在第一象限．点从点出发，沿正方形按方向运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为，的面积（平方单位）． （1）正方形的边长为 　　； （2）当点由点运动到点时，过点作轴交轴于点，已知随着点在上运动时，的面积与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示）， 求：①点，两点的运动速度为 　　； ②关于的函数关系式为 　　； （3）当点由点运动到点时，经探究发现的面积是关于时间的二次函数，其中与部分对应取值如下表： 10 15 20 28 76 求：的值及关于的函数关系式． （4）在（2）的条件下若存在2个时刻，对应的的形状是以为腰的等腰三角形，点沿正方形按方向运动时直接写出当时，的面积的值． 4．（2024•康县一模）如图，抛物线与直线相交于，两点． （1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标； （2）点为轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； （3）把抛物线沿它的对称轴向下平移个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值． 5．（2024•澄海区校级模拟）如图，点、在轴正半轴上，点、在轴正半轴上，且，，，过、、三点的抛物线上有一点，使得． （1）求过、、三点的抛物线的解析式． （2）求点的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角