第17章 专题8 勾股定理与全等构造-【深思维】2023-2024学年八年级下册数学重难题型专项训练（人教版）

| 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 60 专题 8 勾股定理与全等构造 答案见 25 页 A 金题试做｜经典好题，你来挑战 引例1 如图,在△ACB 中,AC=BC,∠ACB=90°,CP=2,PB=1,∠CPB=135°,求AP 的长. (引例1图) 解析 (引例1图) 解:如图,过点C 作CD⊥CP,且CD=CP,连接PD,BD. ∴∠PCD=90°,∠CDP=∠CPD=45°. ∵∠CPB=135°,∴∠DPB=∠CPB-∠CPD=135°-45°=90°. ∵∠ACB=∠PCD=90°, ∴∠ACB-∠PCB=∠PCD-∠PCB. ∴∠ACP=∠BCD. 又AC=BC,CP=CD,∴△CPA≌△CDB. ∴AP=BD. 在Rt△DCP 中,根据勾股定理,得 PD= CP2+CD2= 22+22=22. 在Rt△DPB 中,根据勾股定理,得 BD= PD2+PB2= (22)2+12=3. ∴AP=BD=3. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 61 B 对点集训｜举一反三，吃透考点 变式 1 ▶ /星★原创 /　如图,在等边△ABC 中,P 是△ABC 内一点,若PA=2,PB=4,且∠APB=120°,求 PC 的长. (变式1图) 变式 2 ▶ 如图,在四边形ABCD 中,已知∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD.求证:BD2=AB2+BC2. (变式2图) 变式 3 ▶ 如图,在等腰Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠APC=105°,AP=3,CP= 2,求PB 的长. (变式3图) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 62 变式 4 ▶ 如图,在Rt△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,∠ADB=30°,AD=6,CD=72,求BD 的长. (变式4图) C 深度提升｜思维整合，融会贯通 拓展 1 ▶ 如图,P 为△ABC 内部一点,PA=PB= 13,PC=1,∠APB=120°,∠PCB=60°,求AC 的长. (拓展1图) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 63 拓展 2 ▶ /星★原创 /　在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC. (1)如图1,若∠BPC=60°,连接AP.求证:PB+PC= 3PA; (2)如图2,若∠BPC=120°,连接AP,探究线段PA,PB,PC 之间的数量关系. (拓展2图1) (拓展2图2) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 64 拓展 3 ▶ 在等腰△ABC 中,AB=AC,D 为BC 上一点,连接AD,E 为AD 上一点,连接BE,CE,∠BAC= ∠CED=2∠BED=2x. (拓展3图1) (拓展3图2) (拓展3图2) (1)如图1,若x=45°,求证:CE=2AE; (2)如图2,若x=30°,AB=AC= 7,求CE 的长; (3)如图3,若x=60°,AB=AC=23,Q 为△ABC 外一点,连接BQ,AQ,CQ,且∠BQA=60°, AQ=2,求CQ 的长. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 65 A 金题试做｜经典好题，你来挑战 引例2 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E 在直线BC 上,∠DAE=135°. 求证:CD2+BE2=DE2. (引例2图) 解析 (引例2图) 证明:如图,过点A 作FA⊥AE,截取AF=AE,连接FC,FD. ∴∠FAE=90°=∠BAC. ∴∠FAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE,即∠FAC=∠EAB. 在Rt△ABC 中,∵AB=AC,∴∠CBA=∠ACB=45°. 又AE=AF,∴△ABE≌△ACF. ∴BE=CF,∠ABE=∠ACF=45°.∴∠DCF=∠ACB+∠ACF=90°. ∵∠DAE=135°,∠EAF=90°, ∴∠DAF=360°-∠DAE-∠EAF=360°-135°-90°=135°.∴∠DAE=∠DAF. 在△ADE 和△ADF 中, AD=AD, ∠DAE=∠DAF, AE=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴△ADE≌△ADF(SAS).∴DE=DF. 在Rt△CDF 中,根据勾股定理,CD2+CF2=DF2.∴CD2+BE2=DE2. B 对点集训｜举一反三，吃透考点 变式 1 ▶ 如图,在△ABC 中,AB=AC=2 3,∠BAC=120°,点 D,E 在边BC 上,且∠DAE=60°.若 BD=2CE,求DE 的长. (变式1