第17章 专题7 勾股定理与最值问题-【深思维】2023-2024学年八年级下册数学重难题型专项训练（人教版）

| 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 56 专题 7 勾股定理与最值问题 答案见 22 页 A 金题试做｜经典好题，你来挑战 引例1 / 2022武汉期中 /　如图,圆柱形玻璃杯高为7 cm,底面周长为20 cm,在杯顶部C 处有一滴 蜂蜜,离杯顶点B 的曲线长度为2 cm,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯底2 cm的点A 处,求蚂 蚁从外壁A 处到C 处的最短距离.(杯壁厚度不计) (引例1图) 解析 (引例1图) 解:如图,将杯子侧面展开,连接AC,则AC 的长即为最短距离. 根据勾股定理,得AC= (7-2)2+ 12×20-2 2 = 89(cm). 答:蚂蚁从外壁A 处到C 处的最短距离为 89 cm. B 对点集训｜举一反三，吃透考点 变式 1 ▶ / 2022开封期中 /　如图,圆柱的底面半径为4 cm,高为18π cm,A,B 分别是圆柱两底面圆周上的点, 且AB 垂直于底面,用一根棉线从点A 顺着圆柱侧面绕3圈到点B,求棉线的最短长度. (变式1图) 变式 2 ▶ 如图,长方体的长为8,宽为6,高为4,B 为CD 的中点,一只蚂蚁(看作一点)从点A 出发沿长方 体的表面到达点B,求它运动的最短路程. (变式2图) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 57 C 深度提升｜思维整合，融会贯通 拓展 1 ▶ / 2022重庆月考 /　圆柱形杯子的高为18 cm,底面周长为24 cm,一只蚂蚁在外壁A 处(距杯子上沿 2 cm)发现一滴蜂蜜在杯子内(距杯子下沿4 cm),求蚂蚁从A 处爬到B 处的最短距离. (拓展1图) A 金题试做｜经典好题，你来挑战 引例2 / 2021全国月考改编 /　如图,已知AB=12,P 是线段AB 上的任意一点,在AB 的同侧分别 (引例2图) 以AP,PB 为边作等边△APC 和等边△PBD,求CD 长度的最小值. 解析 (引例2图) 解:如图,过点C 作CE⊥AB 于点E,过点D 作DF⊥PB 于点F,过点D 作DG⊥CE 于点G. ∴四边形EFDG 是长方形.∴DG=EF. ∵△APC 和△PBD 都为等边三角形,∴EP= 1 2AP ,PF= 1 2PB. ∴EF=EP+PF= 1 2AB=6.∴DG=EF=6. 在Rt△CGD 中,根据勾股定理,得CD= CG2+GD2.当CG=0时,CD 有最小 值,此时P 为AB 的中点. ∴CD=DG=6,即CD 长度的最小值是6. B 对点集训｜举一反三，吃透考点 变式 1 ▶ 如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=BC=10,E 为AC 上一动点(不与点C 重合), △CDE 是等边三角形,过点E 作EF⊥DE,F 为此垂线上的动点,连接DF,并取DF 的中点G, (变式1图) 连接AG,求线段AG 的最小值. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 58 变式 2 ▶ 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以BC 为边在△ABC 外作△DBC,且S△DBC=1, 求AD+BD 的最小值. (变式2图) 变式 3 ▶ 如图,∠AOB=60°,P 是∠AOB 内的一定点,且OP=4,若点 M,N 分别是射线OA,OB 上异于 点O 的动点,求△PMN 周长的最小值. (变式3图) 变式 4 ▶ / 2023全国月考 /　如图,△ABC 为等边三角形,BD 平分∠ABC,△ABC 的面积为 3,P 为BD 上一 动点,连接AP,求AP+ 1 2BP 的最小值. (变式4图) C 深度提升｜思维整合，融会贯通 拓展 1 ▶ 将△ABC(AB>AC)沿AD 折叠,使点C 刚好落在AB 边上的点E 处. (拓展1图1) (拓展1图2) (拓展1图3) 【操作观察】 (1)如图1,AB=10,AC=8. ①BE= ; ②若S△ACD=9,则S△ABD= . | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 59 【理解应用】 (2)如图2,若∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD; 【拓展延伸】 (3)如图3,若∠BAC=60°,G 为AC 的中点,且AG=4.P 是AD 上一动点,连接PG,PC.求 (PG+PC)2 的最小值. 拓展 2 ▶ 在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=2,BC=4,AC 的垂直平分线DE 交AC 于点D,交BC 于点E. (拓展2图1) (拓展2图2) (拓展2图3) (1)如图1,连接AE,则AE 的长为 ; (2)如图2,AB 的延长线