第17章 专题3 勾股定理的逆定理-【深思维】2023-2024学年八年级下册数学重难题型专项训练（人教版）

| 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 42 专题 3 勾股定理的逆定理 答案见 13 页 A 金题试做｜经典好题，你来挑战 引例 如图,P 是等边△ABC 内部的一点,连接 PA,PB,PC,以 BP 为边,在 BP 下方作 ∠PBQ=60°,且BP=BQ,连接PQ,CQ. (1)观察并猜想线段AP 与CQ 之间的数量关系,并说明理由; (2)若PA=3,PB=4,PC=5,判断△PQC 的形状,并说明理由. (引例图) 解析 解:(1)AP=CQ.理由如下: ∵△ABC 是等边三角形,∴AB=CB,∠ABC=60°. ∵∠PBQ=60°,∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC. ∴∠ABP=∠CBQ. 又BP=BQ,∴△ABP≌△CBQ.∴AP=CQ. (2)△PQC 是直角三角形.理由如下: ∵BP=BQ,∠PBQ=60°,∴△PBQ 是等边三角形.∴PQ=PB=4. ∵AP=CQ,且AP=3,∴CQ=3. ∵PC=5,∴PQ2+CQ2=42+32=25=PC2. ∴△PQC 是直角三角形. B 对点集训｜举一反三，吃透考点 变式 1 ▶ /人教 P29习题 14变式 /　如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,P 是△ABC 内一点,且PA=3, PB=1,PC=CD=2,CD⊥CP 于点C,求∠BPC 的度数. (变式1图) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 43 变式 2 ▶ 如图,在△ABC 中,AC=5,E 为BC 边上一点,且CE=1,AE= 26,BE=4,F 为AB 边上的动 点,连接EF. (1)求AB 的长; (2)当△BEF 为等腰三角形时,求AF 的长. (变式2图) 变式 3 ▶ / 2023滁州期中 /　如图1,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点D,E 是AC 上一点,连接BE 交AD 于点F,且∠CBE=45°. (1)求证:AB2-AD2=BD·CD; (2)若AB=6.5,BC=5,求AF 的长; (3)如图2,若AF=BC,以BF,EF 和AE 为边,能围成直角三角形吗? 请判断,并说明理由. (变式3图1) (变式3图2) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 44 C 深度提升｜思维整合，融会贯通 拓展 1 ▶ 已知△OMN 为等腰直角三角形,∠MON=90°,B 为NM 的延长线上一点,OC⊥OB,且OC= OB,连接CN. (1)如图1,求证:CN=BM; (2)如图2,作∠BOC 的平分线交MN 于点A.求证:AN2+BM2=AB2; (3)如图3,在(2)的条件下,过点A 作AE⊥ON 于点E,过点B 作BF⊥OM 交OM 的延长线于 点F,EA,BF 的延长线交于点P,请探究:以线段AE,BF,AP 为三边围成的三角形是何种 三角形? 并说明理由. (拓展1图1) (拓展1图2) (拓展1图3) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 45 拓展 2 ▶ / 2022马鞍山期中 /　如图1,∠CDE 是四边形ABCD 的一个外角,AD∥BC,BC=BD,点F 在CD 的 延长线上,∠FAB=∠FBA,FG⊥AE,垂足为G. (1)求证: ①DC 平分∠BDE; ②BC+DG=AG. (2)如图2,若AB=4,BC=3,DG=1.求∠AFD 的度数. (拓展2图1) (拓展2图2) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 13 (1题图2) B对点集训 1.解:由图可知,4(AB+AC)=48,OB=OC=6. ∴AB+AC=12. 在 Rt△OAB 中,根 据 勾 股 定 理,OB2 + OA2=AB2. ∴62+(6+AC)2=(12-AC)2. 解得AC=2. ∴OA=OC+AC=6+2=8. ∴这个图案的面积S=4S△ABO=4× 1 2×6× 8=96. 2.解:(1)49 cm2 (2)设中间的 直角三 角形较短 的直角边 为 3x cm,斜边为5x cm. 根据勾股定理,得另一直角边为4x cm. 由题意,得5x=7.解得x= 7 5. ∴较短的直角边长为 21 5 cm,另一直角边长为 28 5 cm. 设A的边长为3y cm,则B的边长为4y cm. 根据勾股定理,得(3y)2+(4y)2= 21 5 2 . 解得y= 21 25. ∴A的面积是(3y)2= 63 25 2 = 3 969 625 (cm2). 设D的边长为3z cm,则C的边长为4z cm