第17章 数学活动-【深思维】2023-2024学年八年级下册数学重难题型专项训练（人教版）

| 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 33 数学活动 答案见 10 页 1./ 2023北京期中 /　小明同学要测量学校旗杆的高度,他发现旗杆的绳子刚好垂到地面上,当他把绳 子下端拉开5 m后,发现这时绳子的下端正好距地面1 m,学校旗杆的高度是 ( ) A.13 m B.21 m C.10 m D.17 m 2./ 2023抚顺期末改编 /　学过勾股定理后,李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB 的 高度,得到如下信息:①测得从旗杆顶端垂下来的升旗用的绳子比旗杆长2 m(如图1);②当将 绳子拉直时,测得此时拉绳子的手到地面的距离CD 为1 m,到旗杆的距离CE 为9 m(如图 2).根据以上信息,求旗杆AB 的高度. (2题图1) (2题图2) 3.【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容. 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的 形状,使点A,E,D 在同一条直线上,利用 此图的面积表示式证明勾股定理. (1)请结合图1,写出完整的证明过程; (2)如图2,在等腰Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB= 2,P 是射线BC 上一点,以AP 为直角 边在AP 边的右侧作△APD,使∠APD=90°,AP=PD.过点D 作DE⊥BC 交BC 的延 长线于点E,当DE=2时,求BD 的长. (3题图1) (3题图2) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 34 4./人教 P36活动 2变式 /　在学习勾股定理时,我们学会运用图1验证它的正确性:图中大正方形的面 积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+412ab ,即(a+b)2=c2+412ab .由此推出勾股定理 a2+b2=c2.这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字 证明”. (4题图1) (4题图2) (4题图3) (1)请你用图2的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等); (2)请你用图3提供的图形进行组合,验证(x+y)2=x2+2xy+y2 的正确性. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 10 ②∵AE⊥AC,∴∠EAC=90°=∠BAD. ∴∠EAD=∠CAB. ∵∠BAD=∠BCD=90°, ∴∠ABC+∠ADC=180°. ∵∠ADC+∠ADE=180°, ∴∠ADE=∠ABC. 又AD=AB,∴△ADE≌△ABC. ∴S△ADE=S△ABC. ∴S△ADE+S△ADC=S△ABC+S△ADC, 即 S△ACE =S四边形ABCD =S△ABD +S△BCD = 1 2×2×2+ 1 2× 2× 6=2+ 3. (2)如图,过点B 作BM⊥CD 交DC 的延长 线于点M,连接AM,过点A 作AP⊥AM, 交MD 的延长线于点P. ∵BM⊥CD,∴∠BMC=90°. ∵∠BCD=135°,∴∠BCM=45°. ∴∠CBM=45°=∠BCM.∴MB=MC. 在Rt△BMC 中,根据勾股定理, MB2+MC2=BC2=20. ∴MB=MC= 10. 由(1)②,知△ADP≌△ABM. ∴AP=AM,PD=MB= 10. 由(1)②,知S△APM=S四边形ABMD=S四边形ABCD+ S△BMC,即 1 2AP ·AM= 35 2+ 1 2MB ·MC. ∴ 1 2AP 2= 35 2+ 1 2× (10) 2 . 解得AP2=45. 在Rt△APM 中,根据勾股定理, PM2=AP2+AM2=2AP2=90. ∴PM=3 10. ∴CD=PM-PD-MC=3 10- 10- 10= 10. (12题图) 数学活动 1.A 2.解:设旗杆AB 的高度为x m. 根据题意,得AE=(x-1)m,AC=(x+2)m. 在Rt△ACE中,根据勾股定理,AC2=AE2+CE2. ∴(x+2)2=(x-1)2+92.解得x=13. 答:旗杆AB 的高度为13 m. 3.解:(1)证明:∵△ABE≌△DEC, ∴∠ABE=∠DEC,BE=EC. ∵∠ABE+∠AEB=90°, ∴∠AEB+∠DEC=90°. ∴∠BEC=90°. ∴△BEC 是等腰直角三角形. ∴S△BEC= c2 2. ∵S△BEC=S梯形ABCD-2S△ABE, ∴ c2 2= (a+b)(a+b) 2 -2× ab 2. ∴c2=a2+b2. (2)如图,过点A 作AH⊥BC 于点H. ∴∠AHP=90°. ∵△ABC 是等腰直角三角形,AB= 2, ∴根据勾股定理,得BC= AB2+AC2=2. ∴AH=BH=CH=1. ∵∠APD=90