专题4.2 因式分解压轴分类（六大题型）2023-2024学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题4.2 因式分解压轴分类六大题型 一．因式分解的意义（共1小题） 1．（2023•鹤城区校级开学）【例题讲解】因式分解：x3﹣1． ∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b， ∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立． ∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝　 　； （2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值及另一个因式． 二．因式分解-提公因式法（共1小题） 2．（2023秋•梨树县期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12． （1）求a2b﹣ab2的值； （2）求a2+b2的值； （3）求a+b的值． 三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题） 3．（2023春•荣成市期中）分解因式：a2﹣a+2＝　 　． 四．因式分解-分组分解法（共1小题） 4．（2023春•凤阳县期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）． ①分解因式：ab﹣a﹣b+1； ②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值； （2） 若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值． 五．因式分解-十字相乘法等（共2小题） 5．（2022秋•谷城县期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 6．（2023春•即墨区期中）阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． （1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）； （2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x+y﹣1） 试用上述方法分解因式： （1）a2+2ab+b2+ac+bc； （2）4a2﹣x2+4xy﹣4y2． 六．因式分解的应用（共25小题） 7．（2024春•镇海区校级期中）设实数满足x3＝﹣2x+1，若x7＝ax2+bx+c，则a﹣2b+c的值为（　　） A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．6 8．（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 9．（2024春•浙江期中）已知多项式x2+mx+5＝（x+p）（x+q），p，q为整数，则m的值为 　 　． 10．（2024•两江新区校级模拟）若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 　 　；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 　 　． 11．（2024•香坊区模拟）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a），例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3，根据以上定义，如果m，n都是“互异数”，且m+n＝100，求f（m）+f（n）＝