北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

北师大附属实验中学2023-2024学年度第二学期期中试卷 高二年级数学 班级 姓名 学号 成绩 考 生 须 知 1．本试卷共4页，共五道大题，24道小题，答题卡共8页，满分150分，考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号. 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 命题人：李桂春 于大哲 高华文 审题人： 黎栋材 第Ⅰ卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．与的等差中项是 (A) (B) (C) (D) 2．函数的单调递增区间是 (A) (B) (C) (D) 3．数列，，，，，……的一个通项公式为 (A) (B) (C) (D) 4．等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前项之和是 (A) (B) (C) (D) 5．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 (A) 万件 (B) 万件 (C) 万件 (D) 万件 6．设是无穷等差数列，且公差不为零，其前项的和为，则“”是“为递增数列”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 7．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 8．已知，且，则 (A) (B) (C) (D) 大小关系不确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．已知，若为奇函数，则 ． 10．已知为非零常数，函数则 ． 11．若数列满足：，则 ；前项的和 ．（用数字作答） 12．在等差数列中，，则此数列前项之和为 ． 13．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义： ，．若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则 ． 14．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共3小题，共30分） 15．（本小题满分10分） 等比数列的前项和为，已知成等差数列． (Ⅰ)求的公比； (Ⅱ)若，求． 16．（本小题满分10分） 已知函数． (Ⅰ)求函数在上的最大值； (Ⅱ)求证：存在唯一的，使得． 17．（本小题满分10分） 已知函数． (Ⅰ)若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围； (Ⅱ)如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第Ⅱ卷（共50分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 18．曲线在点处的切线方程为___________． 19．已知函数，是的导函数，则 ． 20．设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为 ． 21．已知正项数列满足，则在下列四个结论中， ①； ②是递增数列； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是 ． 五、解答题（本大题共3小题，共34分） 22．（本小题满分10分） 已知数列的前项和为,，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答： (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设等比数列满足，，求数列的前项和． 条件①： ； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 23．（本小题满分12分） 已知函数，. (Ⅰ)已知函数在处取得极小值，求的值； (Ⅱ)讨论函数的单调区间； (Ⅲ)当时，存在，，求实数的取值范围. 24．（本小题满分12分） 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质： ①； ②对任意的,．则称数列具有性质 (Ⅰ)若数列具有性质，求数列的前项和； (Ⅱ)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； (Ⅲ)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大附属实验中学2023-2024学年度第二学期期中试卷 高二年级数学 答案 第Ⅰ卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. B 2. D 3. A 4. B 5. C 6. A 7．D 8. A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5