精品解析： 广西南宁市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

南宁二中2023-2024学年度下学期高一期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项．） 1. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图所示，中，点D是线段BC中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A B. C. D. 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知一个圆柱和一个圆锥底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分．） 9. 下列说法错误的是（ ）． A. 过三个点有且只有一个平面 B. 已知直线，平面，，，，，则 C. 已知直线，平面，，，则 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 10. 复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. B. z的共轭复数为 C. z的实部与虚部之和为2 D. z在复平面内的对应点位于第一象限 11. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上的最大值为 C. 图像的一个对称中心为 D. 图像的一条对称轴为直线 12. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ） A 若，，，四点共面，则 B. 存在点，使得平面 C. 若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值 D. 若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 三、填空题（每小题5分，共20分）． 13. 半径为2cm，圆心角为的扇形面积为 . 14. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则______． 15. 在中，若，，，三角形有唯一解，则整数______． 16. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________． 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知平面向量满足，，与夹角为． （1）求； （2）当实数为何值时，． 18. 已知中，角所对的边分别为，且． （1）证明：； （2）若，求角的大小． 19. 如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点. （1）求证：平面平面； （2）若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积. 20. 如图，现有一直径百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点． （1）设，试将管道总长（即线段）表示为变量θ的函数； （2）求管道总长的最大值． 21. 已知锐角三角形的内角的对边分别为且． （1）求角的大小； （2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 22. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由． （2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南宁二中2023-2024学年度下学期高一期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项．） 1. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则即可得出结论. 【详解】. 故选：B. 2. 已知直线a，b和平面，，，则“”是“”