通关秘籍09 圆锥曲线大题（易错点+六大题型）-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

秘籍09 圆锥曲线大题 目录 【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测 【应试秘籍】总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点：解题规范 【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略 【题型一】极点、极线 【题型二】 自极三角形与调和点列 【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题 【题型四】 定比点差法 【题型五】 定点、定值 【题型六】 求轨迹方程型 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 极点、极线 圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。 一些固定题型解题方法的掌握还是需要熟练，并且理解圆锥曲线中解析几何的解题思维，延伸知识点例如极点、极线，齐次化解法、定比点差法等等比较热门的需要熟练于心。 易错点：解题规范 圆锥曲线大题在遇到直线与曲线相交相关的问题是，极点、极线的思想只能辅助我们解题，不可出现在答题过程中，都需要设点或设线，写出完整的证明过程。 例（2023 年全国乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 变式1：（2024·湖南衡阳·二模）（多选）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（    ） A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点 C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为 【题型一】极点、极线 二次曲线的极点极线 （1）.二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程 ①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为 则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线， 则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦， 分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； （3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线. 【例1】过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【例2】已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是________． 【例3】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ． 【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．      (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求以为直径的圆的方程； (3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 【变式2】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 【变式3】（2024·新疆喀什·二模）已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足． (1)求椭圆的方程； (2)证明直线过定点． 【题型二】 自极三角形与调和点列 一、调和点列的充要条件 如图，若四点构成调和点列，则有（一般前2个出现较多） 二、调和点列与极点极线的联系 如图，过极点作任意直线，与椭圆交于，与极线交点则点成调和点列，若点的极线通过另一点，则的极线也通过．一般称、互为共轭点． 三、自极三角形 如图, 设 是不在圆雉曲线上的一点, 过 点引两条割线依次交二次曲线于 四点, 连接对角线 交于 , 连接对边 交于 , 则直线 为点 对应的极线. 若为圆雉曲线上的点, 则过点的切线即为极线. 同理, 为点对应的极线, 为点所对应的极线. 因而将称为自极三点形. 设直线交圆锥曲线于点两点, 则, 恰为圆锥曲线的两条切线. 从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点． 【例1】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【例2】（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点