重叠问题（讲义）-2023-2024学年三年级上册数学人教版

重叠问题 【知识综述】 在数学学习中，我们常常会碰到有关重叠问题的应用题。如，小明的妈妈和爸爸分别给小明买了两种水果。可到家之后才发现，实际上两人一共买了3种水果。这是怎么回事呢？原来，爸爸与妈妈买的水果中有一种重复了。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它的总和中去掉（排除）重复部分。 这类问题的解答，必须从条件入手进行认真分析，有时还要画出图示，借助图形进行分析思考，找出重复部分，看一看重复几次，明确求的是哪一部分，从而找出解决问题的方法。 【典型例题1】 例1：同学们排成方阵跳舞。李兰不论是从前数、从后数还是从左数、从右数都是第4个。一共有多少个同学在跳舞？ 思路点拨：根据题意，画出示意图： 前 ○○○○○○○ ○○○○○○○ ○○○○○○○ 左○○○●○○○右 ○○○○○○○ ○○○○○○○ ○○○○○○○ 后 从前数李兰是第4个，从后数她也是第4个，说明这一列有4+4-1=7（个）；从左数她是第4个，从右数也是第4个，说明这一行有4+4-1=7（个），因此总人数是7×7=49（个）。 解：4+4-1=7（个） 4+4-1=7（个） 7×7=49（个） 答：一共有49个同学在跳舞。 小试身手： 1. 幼儿园小朋友们排成方阵跳舞，小阳不管是从左数、从右数、从前数、从后数都是第5个，这个方阵一共有多少个小朋友？ 2. 同学们排成方阵做跳舞，李丽从前数是第6个，从后数是第6个，从左数是第4个，从右数也是第4个，一共有多少个同学在跳舞？ 3.三（1）班的同学们排成方阵做操，明明从前数是第5个，从后数是第4个，从左数是第2个，从右数是第7个。三（1）班共有多少个学生？ 【典型例题2】 例2：把两根不一样长的钢筋接成一根较长的钢筋，接成的钢筋共长112厘米，中间重叠部分长14厘米，其中一根钢筋长52厘米。另一根钢筋有多长？ 思路点拨：根据题意，画线段图如下： 从线段图中看出，两根钢筋接在一起的重叠部分长14厘米，由于重叠，使两根钢筋的总长度减少了14厘米而变成接成后的112厘米，那么原来两根钢筋的总长度应是112+14=126（厘米），由于其中一根长52厘米，则另一根长152-26=74（厘米）。 两根钢筋总长多少厘米？ 112+14=126（厘米） 另一根钢筋长多少厘米？ 126-54=74（厘米） 综合算式：112+14-52=74（厘米） 答：另一根钢筋长74厘米。 小试身手： 1.李师傅把两根木条钉成一根木条，其中一根长40厘米，另一根长60厘米，钉成的木条重叠部分长10厘米，钉成的木条长多少厘米？ 2.将两根不一样长的竹竿接成一根较长的竹竿，接成的新竹竿长98分米，中间重叠部分长9分米，已知其中一根竹竿长38分米，则另一根竹竿长多少分米？ 3.把3块长度都是70厘米的木板钉成一块木板，每个重叠处的长度都是5厘米，钉成的木板全长是多少厘米？ 【典型例题3】 例3：:在一次数学、语文测试中，有22人至少有一科得了优秀，其中数学得优秀的有15人，语文得优秀的有18人。两科都得优秀的有多少人？ 点拨：数学得优秀的有15人，语文得优秀的有18人，一共有15+18=33（人），多于22人，为什么？因为有一部分学生数学是优秀，语文也是优秀，这部分学生在算数学得优秀的人数时算了一次，在算语文得优秀的人数时又算了一次，多计算了一次。如下图： ( ？人 22人 ) 所以两科都得优秀的有15+18-22=11（人） 答：两科都得优秀的有11人。 【小试身手】 1.在一次学校组织的数学、语文知识竞赛中，至少有一科成绩得优秀的有30热，其中数学得优秀的有25人，语文得优秀的有20人，两科都得优秀的有多少人？ 2.某班在开学初检查假期作业，已知每人至少做完一项作业。做完语文作业的有35人，做完数学作业的有28人，有13人两项作业都做完了，这个班一共有多少人？ 3.学校有两个特长班，三（1）班有42人参加，没人至少参加一个特长班，参加语言训练的有30人，参加思维训练的有26人。两个特长班都参加的有多少人？ 【典型例题4】 例4：三（1）班有学生55人，其中会游泳的有23人，会滑板的有15人，两样都会的有8人，两样都不会的有多少人？ 思路点拨：根据题意，画出下图： 从题意可知，图中的阴影部分是两样都不会的人数，要求两样都不会的人数，就用全班人数减去会游泳和会滑板的总人数，所以这道题要先求出会游泳的人数与会滑板的人数和。 解：23+15-8=30（人） 55-30=25（人） 答：两样都不会的有25人。 小试身手： 1. 某地区的外语教师中，有35人懂俄语，有34人懂日语，有2