精品解析：上海市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年上海市第二中学高一年级下学期 期中数学试卷 一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题每个空格填对得3分，否则一律得0分. 1. 在0到范围内，与角终边相同的角是______. 2. 设角的终边经过点，那么________. 3. 如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍． 4. 函数的最小正周期为______. 5. 已知锐角满足，则______. 6. 已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数________. 7. 若函数的最小值为1，则实数________． 8. 已知，是第三象限的角，则________． 9. 已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影数量为_________． 10. 已知角满足，则 __________________. 11. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则________. 12. 已知函数的部分图象如图中实线所示，圆C与图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　） A. B. C. D. 14. 下列等式中不恒成立的是（ ） A. B. C D. 15. 为了得到函数的图像，可以将的图像 A 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 16. 设函数在上单调递减，则下述结论： ①关于中心对称；②关于直线轴对称； ③在上的值域为；④方程在有个不相同的根. 其中正确结论的编号是（ ） A ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C对边，． （1）若，，求c； （2）若的面积为，，求a． 18. 已知，与的夹角为45°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值. 20. 如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）种植荷花用于观赏，两点分别在两岸上，，顶点到河两岸的距离，设. （1）若，求荷花种植面积（单位：）最大值； （2）若，且荷花的种植面积为，求. 21. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市第二中学高一年级下学期 期中数学试卷 一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题每个空格填对得3分，否则一律得0分. 1. 在0到范围内，与角终边相同的角是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据终边相同的角的表达，结合题目中取值范围，可得答案. 【详解】与角终边相同的角的集合为， 取，可得． 在0到范围内，与角终边相同的角是. 故答案为：. 2. 设角的终边经过点，那么________. 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求得 和 的值，从而求得 的值． 【详解】解：由于角的终边经过点，那么，，， ，，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题． 3. 如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍． 【答案】3 【解析】 【详解】设圆的半径为，弧长为