精品解析：广东省深圳市高级中学（集团）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

深圳市高级中学2023-2024学年第二学期期中考试 高二数学 命题人：高娜 审题人：王超 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. B. C. D. 2. 设随机变量服从正态分布且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.9 3. 二项式展开式常数项为（    ） A. B. 60 C. 120 D. 240 4. 一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（ ）种 A. 25 B. 60 C. 90 D. 150 6. 已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 过点可作3条直线与函数的图象相切，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线左､右焦点分别为，右焦点到渐近线的距离为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. 不等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 10. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间是， B. 的值域为R C. D. 若，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)得到的回归方程为y＝x＋a，已知，，则实数a的值为________． 13. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 则________；若，则_______． 14. 若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，是的等比中项，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和为． 16. “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． （1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； （2）若甲乙两小组各进行次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望． 17. 如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面分别为的中点，且在棱上，且满足，连接． （1）求证：平面； （2）设，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知抛物线的焦点为，为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与面积之和的最小值. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实