考点04基本不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

考点04基本不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 【知识点】 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立． (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)． (2)＋≥ (a，b同号)． (3)ab≤ (a，b∈R)． (4)≥ (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 . (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 【核心题型】 题型一　利用基本不等式求最值 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 命题点1　配凑法 【例题1】（2024·辽宁·一模）已知，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】故选：D（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 . 【变式2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函的最小值为m． (1)求m的值； (2)若a，b为正数，且，求的最大值. 【变式3】（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 命题点2　常数代换法 【例题2】（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 命题点3　消元法 【例题3】（2024·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2】(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 【变式3】（2024·浙江·模拟预测）已知，求的最小值． 题型二　基本不等式的常见变形应用 基本不等式的常见变形 (1)ab≤≤. (2)≤≤≤(a>0，b>0)． 【例题4】（2023·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2023·陕西宝鸡·二模）设a，，则“”是“”的（    ） A． 充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递减数列 C． D． 题型三　基本不等式的实际应用 　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 【例题5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小