数学（四）-2024年高考考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）

目 录 contents （四） 解三角形（解答题）………………………………………………………………03 空间立体几何（解答题）…………………………………………………………23 函数与导数（解答题）……………………………………………………………53 圆锥曲线（解答题） ……………………………………………………………77 新定义（解答题）…………………………………………………………………112 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解三角形（解答题） 年份 题号 知识点 考点 2021年I卷 19 解三角形 ①正余弦定理 ②三角形内部一条线的处理技巧 2021年II卷 18 解三角形 ①正余弦定理 ②三角形的面积问题 ③根据三角形形状求参数 2022年I卷 18 解三角形 ①正余弦定理 ②三角形边长关系求最值 2022年II卷 18 解三角形 ①正余弦定理 ②三角形的面积问题 2023年新高考1 17 解三角形 ①正余弦定理 ②三角形求高的处理技巧 2023年新高考2 17 解三角形 ①正余弦定理 ②三角形中线的处理技巧 近三年，解三角形在解答题中占据一个位置，考查的考点一般来说是： 1、 三角形题干条件的化解2、三角形的面积定值与最值（①全部转化为边，利用基本不等式求最值与范围②全部转化为角，利用三角函数求最值与范围）3、三角形周长（长度）定值与最值（①全部转化为边，利用基本不等式求最值与范围②全部转化为角，利用三角函数求最值与范围） 题干的设置一般来说在上述的三项考点中选其一项。解三角形的三类需要认真分析，每一类题型都有它独特的处理办法，找准精髓便可轻松搞定。 解三角形在2024新高考新题型中的考查形式依然以解答题为主，以考查基本概念和核心方法为主，大概率考察三角形内部一条线，考生可适当留意常见的内部中线、角平分线、任意一条线 现象并分类，每一类总结出一个固定模板，以便此类题在高考出现时考生能做到心中有数，快速解答. 一、正余弦定理基础问题 《正弦定理》 ①正弦定理： ②变形： ③变形： ④变形： ⑤变形： 《余弦定理》 ①余弦定理： ②变形： 核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角? ⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角 ⑵当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边 ⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题 ⑷当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可 二：三角形面积公式 ① ②其中分别为内切圆半径及的周长 推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式 ③（为外接圆的半径） 推导：将代入可得 将代入 可得 ④ ⑤海伦公式（其中） 推导：根据余弦定理的推论 令，整理得 三：三角形中面积最值求算 技巧总结 正规方法：面积公式+基本不等式 ① ② ③ 三角形中面积取值范围求算 技巧总结 思路1：如果题干已知一个角，则利用面积公式转化为三角函数求最值（注意角的范围） 思路2：如果题干未知角，则利用面积公式转化为二次函数求最值（注意单一边的范围） 求单一边范围用到的工具 ①两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ②若为锐角三角形，则两边平方之和大于第三边平方 若为钝角三角形，则两边平方之和小于第三边平方 ③若为锐角三角形，则可利用图象破解或建立不等式 四：三角形内部中线条件的求算 技巧总结 ①中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值） 如：在与同用求 ②中线长常用方法 ③已知，求的范围 ∵为定值，故满足椭圆的第一定义 ∴半短轴半长轴 ④方程组思想（复杂情况） ⑤已知或则利用倍长中线构建平行四边形处理 ⑥已知则利用两边平分得结论 三角形内部角平分线条件的求算 技巧总结 《1》张角定理 如图，在中，为边上一点，连接,设， 则一定有 证明过程：∵∴ 同时除以得 典例1【2023新高考1卷】已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】【1】， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【2】由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 典例2【2023新高考全国Ⅱ卷】 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】【1】 方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. 【2】 方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，