培优专题07 数列求和的综合应用（四大题型）-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关专练（天津专用）

培优专题07 数列求和的综合应用 题型1 分组（并项）求和 题型2 裂项相消求和 题型3 错位相减求和 题型4 数列求和的综合应用 题型一：分组（并项）求和 1．已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 3．已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型二、裂项相消求和 4．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．已知单调递增的等比数列的前项和为，满足，数列也为等比数列． (1)求数列的通项公式． (2)记，求数列的前项和． 6．设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 题型三：错位相减求和 7．已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 8．已知数列满足. (1)证明数列为等差数列，并求； (2)求数列的前项和. 9．记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型四：数列求和综合应用 10．已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 11．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数， (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，定义，且记，求数列的前n项和． 12．已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36． (1)求数列和的通项公式； (2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和； (3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题07 数列求和的综合应用 题型1 分组（并项）求和 题型2 裂项相消求和 题型3 错位相减求和 题型4 数列求和的综合应用 题型一：分组（并项）求和 1．已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，将两式相减，得：， 所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列. 当为奇数时，，，……，且， 则， 当为偶数时，则， 所以. （2）设的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 2．已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 【详解】（1）①， 当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，故， 因为，所以，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）， . 3．已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）由， 当时，由， 两式相减，得， 因此数列是以2为首项，为公比的等比数列，即. 设等差数列的公差为， 因为，所以，因此， 故，； （2）由（1）可知，， 所以， 设数列的前项和为， 则有， ， 两式相减，得， 即， 因此. 题型二、裂项相消求和 4．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由题意得，即，解得， 数列的通项公式为 （2），则， ， . 5．已知单调递增的等比数列的前项和为，满足，数列也为等比数列． (1)求数列的通项公式． (2)记，求数列的前项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为， 结合，得数列的前三项分别为， 由题意，得， 所以， 解得或， 因为数列是单调递增的，所以， 所以． （2）由（1）知，， 所以， 故     ， 故数列的前项和. 6．设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【详解】（1）由，，得，解得， 由，，所以，所以或， 当时，此时； 当时，此时； 综上可得数列的通项公式为或； （2）因为，所以，则， 则 ， 所以 . 题型三：错位相减求和 7．已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，由题意得 ； 当时，则，， 当时，则，，， 是以1为首项，3为公比的