通关秘籍07 函数性质（易错点+七大题型）-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

秘籍07 函数性质 目录 【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测 【应试秘籍】总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题 【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略 【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数 【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称 【题型三】 轴对称 【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性 【题型五】 画图：类周期函数 【题型六】 恒成立和存在型问题 【题型七】 嵌套函数 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题☆☆☆☆☆ 考向预测 函数图像的画法与零点问题 函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟练于心，才能保证做题的速度与准确度。 易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题 若 f (x) 都可以唯一表示成一个奇函数 g(x) 与一个偶函数 h(x) 之和，当 h(x) m 时，则 f (x) 关于点(0，m) 中心对称，即可以理解为将奇函数 g(x) 向上平移了 m 个单位，即 f (x) f (x) 2 f (0) 2m ；当 h(x) m 时， 则有 f (x) f (x) 2h(x) ． 推论 若 f (x) g(x) m ，则f (x) max ＋ f (x) min 2 f (0) 2m ． 例（1）已知f (x)=，则 ． （2）已知f (x)=，则． （3）已知函数，则 ． （4）已知函数，则． 注意 辨别奇函数 g(x) 和常数项 m 后直接用 f (x) f (x) 2 f (0) 2m 来破解． 变式1：（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 变式2：（2024·广西·二模）已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的周期为2 D． 【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数 中心对称的数学语言： 若满足，则关于中心对称 三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。 【例1】（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为 ． 【例2】（多选）（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【例3】（多选）（2024·湖南娄底·一模）已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．在定义域内单调递减 D．为奇函数 【变式1】（2024·江西上饶·二模）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（    ） A．28 B．16 C．20 D．12 【变式2】（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称 1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适 。 2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·湖南·模拟预测）已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（多选）（2024·江苏·一模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．不等式无解 D．的最大值为 【变式2】（2024·河南·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.且，，当，，则 .（用数字作答） 【题型三】 轴对称 数学语言： 1. 函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； 2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称. 3.与关于直线对称。 常见的偶函数： 【例1】（多选）（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【例2】（2024·宁夏银川·二模）定义域为的函数满足