第44期 第10章 相交线、平行线与平移 整章复习-【数理报】2023-2024学年七年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 在相交线与平行线的有关知识中，求角的度数是一 种常见而又重要的题型，如何运用所学知识准确求出角 的度数是同学们比较关心的问题．下面给同学们支几招 求角术，助同学们一臂之力． 例１　如图１，直线ＡＢ与 ＣＤ相交于点 Ｏ，ＯＥ⊥ ＣＤ，垂 足为Ｏ，∠ＢＯＣ＝２∠ＡＯＣ，求 ∠ＢＯＤ和∠ＢＯＥ的度数． 分析：先根据 ∠ＢＯＣ＝ ２∠ＡＯＣ，且∠ＢＯＣ与∠ＡＯＣ互为补角求出∠ＡＯＣ的度 数．再根据对顶角相等求出∠ＢＯＤ的度数，最后根据垂 直的定义，即可求出∠ＢＯＥ的度数． 解：因为∠ＢＯＣ＝２∠ＡＯＣ， 由补角的定义，得 ∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＣ＋ ２∠ＡＯＣ＝３∠ＡＯＣ＝１８０°． 所以∠ＡＯＣ＝６０°． 由对顶角相等，得∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝６０°． 因为ＯＥ⊥ＣＤ， 所以∠ＥＯＤ＝９０°． 所以∠ＢＯＥ＝∠ＥＯＤ－∠ＢＯＤ＝３０°． 例２　如图２，直线ａ，ｂ分别与直线ｃ，ｄ相交，若∠１ ＝∠２，∠３＝７０°，则∠４的度数是 （　　） Ａ．３５°　　　　　　　Ｂ．７０° Ｃ．９０°　　　 Ｄ．１１０° 分析：先根据平行线的判定方法判定 ａ，ｂ两直线平 行，然后由平行线的性质求角的度数即可． 解：如图３． 因为∠１＝∠２， 所以ａ∥ｂ（同位角相等，两直线平行）． 所以∠５＝∠３（两直线平行，同位角相等）． 因为∠３＝７０°， 所以∠５＝７０°． 所以∠４＝１８０°－∠５＝１１０°． 故选Ｄ． 例３　 如图４，小聪把一块含 有６０°角的直角三角尺的两个顶点 放在直尺的对边上，并测得 ∠１＝ ２５°，则∠２的度数是 （　　） Ａ．１５°　　　 Ｂ．２５°　　　 Ｃ．３５°　　　 Ｄ．４５° 分析：由学具的特征，可知直尺的对边互相平行， ∠２＋∠３＝６０°．根据两直线平行的性质求出∠３的度 数，进而可求出∠２的度数． 解：由学具的特征，可知直尺的对边互相平行． 因为∠１＝２５°， 所以∠３＝∠１＝２５°（两直线平 行，内错角相等）． 因为∠２＋∠３＝６０°， 所以∠２＝６０°－∠３＝３５°． 故选Ｃ． 书 “司马光砸缸”是我们熟悉的历史故事．当一个小 朋友掉进水缸里时，伙伴们首先想到的是怎样让“人离 开水”，而司马光却开动脑筋，采取“让水离开人”的方 法，从而把水缸砸破，救出了落水小朋友．司马光的这种 想法就是逆向思维方法．运用逆向思维，可顺利探寻平 行线问题中的解题思路． 例１　如图１，已知ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，那么∠Ｅ 与∠ＤＦＥ相等吗？请说明理由． 分析：第一步：通过观察图形发现 ∠Ｅ与 ∠ＤＦＥ是 内错角，要说明∠Ｅ与∠ＤＦＥ相等，需要通过ＡＤ∥ＢＥ 得到． 第二步：要说明ＡＤ∥ＢＥ，需先说明∠Ｄ＝∠ＤＣＥ． 第三步：要说明 ∠Ｄ＝∠ＤＣＥ，由 ＡＢ∥ ＣＤ，可得 ∠Ｂ＝∠ＤＣＥ．又由已知 ∠Ｂ ＝∠Ｄ，所以 ∠Ｄ ＝ ∠ＤＣＥ． 通过上述三步，逆推即可说明∠Ｅ与∠ＤＦＥ相等． 解：∠Ｅ＝∠ＤＦＥ．理由如下： 因为ＡＢ∥ＣＤ， 所以∠Ｂ＝∠ＤＣＥ（两直线平行，同位角相等）． 又因为∠Ｂ＝∠Ｄ， 所以∠Ｄ＝∠ＤＣＥ． 所以ＡＤ∥ＢＥ（内错角相等，两直线平行）． 所以∠Ｅ＝∠ＤＦＥ（两直线平行，内错角相等）． 例２　如图２，已知∠ＢＡＧ与∠ＡＧＤ互补，且∠１＝ ∠２，问∠Ｅ与∠Ｆ相等吗？请说明理由． 分析：第一步：通过观察图形发现∠Ｅ与∠Ｆ是内错 角，要说明∠Ｅ与∠Ｆ相等，需要通过ＡＥ∥ＦＧ得到． 第二步：要说明ＡＥ∥ＦＧ，需说明∠３＝∠４． 第三步：要说明∠３＝∠４，因为已知∠１＝∠２，故 需说明∠ＢＡＧ＝∠ＣＧＡ即可． 第四步：要说明 ∠ＢＡＧ＝∠ＣＧＡ，只需说明 ＡＢ∥ ＣＤ．由已知∠ＢＡＧ与∠ＡＧＤ互补，易得ＡＢ∥ＣＤ，从而问 题得以解决． 通过上述四步，逆推即可说明∠Ｅ与∠Ｆ相等． 解：∠Ｅ＝∠Ｆ．理由如下： 因为∠ＢＡＧ与∠ＡＧＤ互补，即 ∠ＢＡＧ＋∠ＡＧＤ＝ １８０°， 所以ＡＢ∥ＣＤ（同旁内角互补，两直线平行）． 所以∠ＢＡＧ＝∠ＣＧＡ（两直线平行，内错角相等）． 又因为∠１＝∠２， 所以∠ＢＡＧ－∠１＝∠ＣＧＡ－∠２，即∠３＝∠４． 所以ＡＥ∥ＦＧ（内错角相等，两直线平行）． 所以∠Ｅ＝∠Ｆ（两直线平行，内错角相等）． 编者语：从以上两例可以看出，逆向思维在数学中 有着广泛的应用，同学们不妨在学习中多练习和尝试这 种思维方法，一定会起到事半功倍的效果． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! " # $ ! " # $ % & ! % !"#$%&' " () *+, -"./0120345 # % " ! ' & ! " ! ( % # " ' & " & $ ! ! & " 67 89: ;<=>?@AB ;C=?DEFGHIJK L<M?NOPQR