安徽省皖北县中联盟（省重点高中）2023-2024学年高一下学期期中联考数学A卷

高一数学A卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。 3，请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），则在复平面内所对应的向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知是单位向量，若，则（ ） A． B．2 C． D．－2 4．已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 5．已知，两点在圆上运动，且，则的值（ ） A． B．1 C． D．与点，的具体位置有关 6．已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 7．已知，若且，则（ ） A． B． C．2 D．4 8．已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（ ） A． B． C．若，则 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法中正确的是（ ） A．多面体的每条棱都是一条线段 B．在四棱台中，，，，四点可以不共面 C．上、下底面均为正方形的四棱台的四条侧棱长一定相等 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 10．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为，已知甲、乙两地之间的距离约为40千里．若同一日内，甲地中直线与地面所成的角为，且，则甲地日影长与乙地日影长的比值为（ ） A．3：4 B．3：5 C．5：4 D．3：1 11．已知非零向量的夹角为，定义新运算：，若，则下列说法正确的是（ ） A．， B．在上投影向量的模为 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数（是虚数单位），若所对应的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围为______． 13．如图，已知，直角梯形是水平放置的一个平面四边形的直观图，且，，则四边形的周长为______． 14．已知函数，若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数是关于的方程的根（是虚数单位），其中． （1）求，的值； （2）若，且复数是纯虚数，求． 16．（15分） 已知向量的夹角为，且，． （1）求证：； （2）若，且，求实数的值． 17．（15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且，，，点为的中点，点为的中点． （1）用向量表示向量，并求出的长度； （2）求． 18．（17分） 在中，角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若，点在边上，且，求的最大值． 19．（17分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 高一数学A卷参考答案 1．【答案】A 【解析】由题意．故选A． 2．【答案】D 【解析】由题，所以复数所对应的向量的坐标为．故选D． 3．【答案】B 【解析】因为是单位向量，且，所以，所以，故选B． 4．【答案】D 【解析】由题，即，则，故选D． 5．【答案】B 【解析】如图，连接，过点作交于点，