山东省德州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学试题 2024.4 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1．设，向量，，若，则（ ） A．2 B． C． D． 2．已知复数满足（i是虚数单位），则（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．已知，且，，则（ ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 5．若，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 6．在中，，边上的两条中线AM，BN相交于点，则的余弦值是（ ） A． B． C． D． 7，数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理，设点O，G，H分别为三角形的外心，重心，垂心，则（ ） A． B． C． D． 8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．设为非零复数（i是虚数单位），下列命题正确的是（ ） A．若，则为正实数 B．若，则 C．若，则 D．若，则为纯虚数 10．下列命题中正确的是（ ） A．若是单位向量，则 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若向量和，满足，，则 D．若向量，，则在方向上投影的数量是 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下命题中正确的是（ ） A．若，，，则符合条件的三角形有两个 B．若，则为等腰或直角三角形 C．若，则的最小值为 D．若，，边上的高为1，则符合条件的三角形有两个 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，则___________． 13．若为的外心，且，则___________． 14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，且，则___________；若在线段AB上存在动点使得，则xy的最大值为___________．（第一空2分，第二空3分） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分） 已知为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在实轴上． （1）求； （2）设，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积． 16．（本小题满分15分） 已知平面上三点A，B，C，且，，． （1）若A，B，C不构成三角形，求实数应满足的条件； （2）若为针角三角形，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知函数，． （1）若，求的值； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 如图所示，在扇形中，为锐角，四边形是平行四边形，点在弧上，点M，N分别在线段OA，OB上，，，记． （1）当时，求； （2）请写出阴影部分的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最小值． 19．（本小题满分17分） 在中，角A，B，C的对边分别为，． （1）若，求证：； （2）若，求的最大值． 高一数学试题参考答案 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．D 8．A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．ACD 10．BC 11．ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13．0 14．4， 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．解：（1）， ， 因为在复平面上对应的点在实轴上， 所以， 所以， （2）由（1）知：，， 所以， 所以． 在复平面上对应的点分别为，，， 所以，， 所以，，所以，． 16．解：（1）由题可知，，， 三点A，B，C不构成三角形，得A，B，C三点共线， 所以，解得． （注：利用求解，同样得分） （2）当为钝角时，， 所以，解得且，