专题3 第3讲 空间角、距离的计算-【红对勾】2024年新高考数学二轮复习讲与练(新教材)

第二篇 专题三 立体几何与空间向量 @ 第3讲 空间角、距离的计算 5 1.以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点,常与空间线面位置关系的证明相 结合,热点为空间角的求解,常以解答题的形式进行考查.高考注重利用向量方法解决空间角问题,但也可利用 几何法来求解. 2.空间距离(特别是点到面的距离)也是高考题中的常见题型,多以解答题的形式出现,难度中等. ,M$3 OP5 1.(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三 角形,AB 为斜边,△ABD 为等边三角形,若 二面角C-AB-D 为150°,则直线CD 与平面 ABC 所成角的正切值为 ( ) A.15 B. 2 5 C. 3 5 D. 2 5 2.(2022· 新 高 考 Ⅰ 卷)如 图,直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为 22. (1)求点A 到平面A1BC 的距离; (2)设 D 为A1C 的中点,AA1=AB,平面 A1BC⊥ 平面ABB1A1,求二面角A-BD-C 的正弦值. 3.(2023·新课标Ⅱ卷)如 图,三棱锥A-BCD 中, DA=DB=DC,BD ⊥ CD,∠ADB=∠ADC= 60°,E 为BC 的中点. (1)证明:BC⊥DA; (2)点F满足EF→=DA →,求二面角D-AB-F的 正弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 &%1 5 / 考向1 直线与平面所成的角 % 求直线与平面所成角的方法 方法一:几何法.步骤为:① 找出直线l在平面α 上的射影;② 证明所找的角就是所求的角;③ 把 这个 角 置 于 一 个 三 角 形 中,通 过 解 三 角 形 来 求角. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 方法二:空间向量法.步骤为:① 求出平面α 的法 向量n 与 直 线 AB 的 方 向 向 量AB→;② 计 算 cos<AB→,n>= AB→·n |AB→||n| ;③利用sin θ=|cos<AB→, n>|,以及θ∈ 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,求出角θ. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 035 h
 【例1】 (2023·山东潍坊统考一模)在四棱锥 P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方 形,PC ⊥ PD,二 面 角 A-CD-P 为 直 二 面角. (1)求证:PB ⊥PD; (2)当PC=PD 时,求直 线PC 与平面PAB 所成 角的正弦值. A@ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋