福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 命题学校：永定一中 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若函数，则函数从到的平均变化率为 A．6 B．3 C．2 D．1 2.已知空间中三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的中线的长度为 A． B． C．2 D． 3.已知函数的导函数为，若，则 A． B．1 C． D． 4.2024年4月4日是我国的传统节日“清明节”.这天，李华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，李华随机拿了两个青团子，若李华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为 A． B． C． D． 5.设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为 A． B． C． D． 6.已知函数在定义域内可导，的图象如下，则其导函数的图象可能为 A． B． C． D． 7.在平行六面体中，M，N分别为线段，上的点，则“且”是“M，N，三点共线”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8.已知正方体的棱长为1m.平面与正方体的每条棱所成的角均相等，记为.平面与正方体表面相交形成的多边形记为M，下列结论正确的是 A．M可能为三角形、四边形或六边形 B． C．M的面积的最大值为 D．正方体内可以放下直径为1.2m的圆 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数，则 A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 10.甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，分别用，和表示从甲口袋取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙口袋中随机取出1个球，用B表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是 A．，，是两两互斥的事件 B． C．事件与事件B相互独立 D． 11.如图，正方体ABCD-EFGH的棱长等于2，K为正方形ABCD的中心，M，N分别为棱BF，EF的中点.下列结论正确的有 A． B． C． D．△KMN的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设表示事件M发生的概率，若，，，则 . 13.若函数，则 . 14.某生物科学研究院为了研究新科研项目需建造如图所示的全封闭生态穹顶，该建筑（不计厚度，长度单位：m）的上方为半球形，下方为圆柱形，符合设计要求的生态穹顶建筑的容积为，且（其中l为圆柱的高，r为半球的半径），假设该生态穹顶建筑的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为c（）万元，当 m时，该生态穹顶建筑的总建造费用最少. 四、解答题：本题共5小题，共77分（13＋15＋15＋17＋17）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值. 16.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 17.已知函数，. （1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线的方程. （2）若，求证：当时，. （3）若的极小值为，求a的值. 18.如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动. （1）求证：. （2）当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离. （3）在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由. 19.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示，谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO＇为铅垂线（O＇在AB上）.经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离（米）与D到OO＇的距离a（米）之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离（米）与F到OO＇的距离b（米）之间满足关系式.已知点B到OO＇的距离为40米. （1）求桥AB的长度. （2）计划在谷底两侧建造平行于OO＇的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）.桥墩EF每米的造价为k（万元），桥墩CD每米的造价为（万元），，问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 龙岩市一级校联盟2023—2