圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）知识点-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2025届高二数学知识点 不预习不上课，不复习不作业 椭圆、双曲线、抛物线知识点 1. 椭圆 1.定义 第一定义：到两定点F1、F2的距离之和等于常数 第二定义：到定点F(c,0)（c>0）的距离和它到定直线l： 的距离之比是常数 第三定义：到两定点A1(-a,0)，A2(a,0)的斜率之积等于常数 2.几何性质 标准方程 统一方程 mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n） 范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 顶点 A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b) B1(-a,0)，B2(a,0)，A1(0,-b)，A2(0,b) 轴长 长轴长=2a，短轴长=2b 长轴长=2b，短轴长=2a 对称性 关于x、y轴对称，关于原点中心对称 焦点 F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c) 焦距 离心率 3.点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② 焦点三角形中一般要用到的关系： 2. 双曲线 1.定义 第一定义：到两定点F1、F2的距离之 等于常数 第二定义：到定点F(c,0)（c>0）的距离和它到定直线l： 的距离之比是常数 第三定义：到两定点A1(-a,0)，A2(a,0)的斜率之积等于常数 2.几何性质 标准方程 统一方程 mx2+ny2=1（mn＜0） 焦点坐标 F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c) 对称性 关于x、y轴对称，关于原点中心对称 顶点坐标 A1(-a,0)，A2(a,0) A1(0,-b)，A2(0,b) 范围 x≥a或x≤-a，y∈R x∈R，y≥a或y≤-a 实轴、虚轴 实轴长为2a，虚轴长为2b 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为_____ 令， 焦点到渐近线的距离为_____ 共渐近线的双曲线方程 等轴双曲线 离心率两渐近线互相垂直，方程为方程可设为 3.切线方程 （为切点） （为切点） 焦点三角形 ， 焦点三角形中一般要用到的关系： 3. 抛物线 1.定义 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的__________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 【注】①上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 ②焦点F不在准线l上.若F在l上，抛物线变为过F且垂直与l的一条直线. ③抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化 2.几何性质 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） ①标准方程中的参数p的几何意义是指_______到_______的距离 ②p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线l上这一隐含条件； 顶点 范围 对称轴 离心率 焦点 准线方程 焦半径 3.与直线的位置关系 法1：联立消元，韦达△（方程常设为y=kx+b或x=my+n形式） 法2：点差法（适用于中点弦） 弦长公式 设直线与抛物线的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，kAB=k． 则弦长|AB|=______________=______________=______________ 焦点弦 通径 通径：过焦点做抛物线对称轴的垂线，和抛物线两个交点之间长度. 任意抛物线的通径都等于_______. 4. 其他 焦半径 MAX=a+c MIN=a - c 椭圆 左：右： 上：下： 双曲线 M在右支 M在左支 M在上支 M在左支 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 常规做法 法1：联立 法2：点差法（适用于中点弦） 设点、代入圆锥曲线方程、作差、平方差公式展开、代入中点值、化简求斜率 直线与xxx位置关系 弦长 设直线与椭圆/双曲线/抛