第05讲：椭圆、双曲线、抛物线【12大题型】-2024-2025学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲：椭圆、双曲线、抛物线 【考点梳理】 · 考点一：椭圆的定义及其应用 · 考点二：椭圆焦点三角形问题 · 考点三：椭圆的方程 · 考点四：椭圆的几何性质 · 考点五：椭圆的离心率问题 · 考点六：双曲线的定义及其方程 · 考点七：双曲线的几何性质 · 考点八：双曲线的渐进线问题 · 考点九：双曲线的离心率问题 · 考点十：抛物线的最值问题 · 考点十一：抛物线的方程及其性质 · 考点十二：圆锥曲线的综合问题 【考点梳理】 知识点一、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 知识点二、．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 知识点三、．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x0＋ －x0＋ y0＋ －y0＋ 通径长 2p 【题型归纳】 题型一：椭圆的定义及其应用 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：椭圆焦点三角形问题 4．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 5．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，直线过点，且与椭圆交于两点，若的周长为的面积为，则椭圆的焦距为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型三：椭圆的方程 7．（23-24高二上·安徽合肥·期末）“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点坐标为，且椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，则此椭圆的标准方程为 ． 9．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 题型四：椭圆的几何性质 10．（23-24高二上·天津·期中）椭圆C：（）的焦点为，，短轴端点为P，若，则 . 11．（21-22高二上·山东济宁·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率.若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则的周长为 ，的最大值为 . 12．（21-22高二上·广东广州·期末）已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方．若线段的中点M在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ． 题型五：椭圆的离心率问题 13．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，延长交椭圆于点，且为等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 14．（23-24高二上·广东汕头·期中）椭圆C：（）的左右两焦点分别为，，点P在椭圆上，正三角形面积为，则椭圆的离心率为 ． 15．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 . 题型六：双曲线的定义及其方程 16．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 17．（22-23高二上·吉林·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围是 ． 18．（22-23高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的焦点为，，点在上且其关于原点的对称点为,，四边形的面积为6，则双曲线的方程为 ． 题型七：双曲线的几何性质 19．（23-24高二上·江苏泰州·期中）设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦距，则 ． 20．（21-22高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线左焦点为为双曲线右支上一点，若的中点在以为半径的圆上，则的横坐标为 . 21．（2021·四川成都·一模）已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 . 题型八：双曲线的渐进线问题 22．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知A，B为双曲线E：（，）的左、右顶点，M为E上一点，若点M到x轴的距离为2，，，则E的渐近线方程为 ． 23．（23-24高二上·陕西·期中）已知为双曲线的右焦点，过点作轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点和点.若，则双曲线的渐近线方程为 . 24．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为 .    题型九：双曲线的离心率问题 25．（23-24高二上·广东中山·期中）已知双曲线的左焦点为，方向向量为的直线l过与双曲线左，右两支分别交于，两点且，则双曲线离心率为 . 26．（2024·云南昆明·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 . 27．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）设是双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点、，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 题型十：抛物线的最值问题 28．（23-24高二上·天津·期中）已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 . 29．（20-21高二下·辽宁鞍山·期中）已知拋物线的焦点为，定点，设为拋物线上的动点，的最小值为 ，此时点坐标为 ． 30．（23-24高二上·辽宁本溪·期中）已知抛物线：的准线为，，点是上任意一点，过作，垂足为，则的最小值为 . 题型十一：抛物线的方程及其性质 31．（21-22高二上·山东青岛·期中）已知点在抛物线上，且为焦点，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为 . 32．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知抛物线的焦点为F，M是y轴上一点，线段MF的延长线交C于点N，若，则 ． 33．（23-24高二上·天津·期中）已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为 . 题型十二：圆锥曲线的综合问题 34．（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 35．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 36．（22-23高二上·浙江金华·期中）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的准线方程； (2)若时，求点的横坐标； (3)已知点是抛物线上的一动点，定点，则当点在抛物线上移动时，求的最小值. 【高分达标】 一、单选题 37．（23-24高二下·吉林·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 39．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高三上·重庆·期中）已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（    ） A． B． C． D．4 41．（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 42．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 43．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二上·宁夏银川·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高二上·四川·期中）已知分别是椭圆的左､右焦点，第一象限内的点在上，，直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，双曲线左､右两支上各有一点，满足，且，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 47．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 48．（23-24高二上·广东中山·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为2，则 D． 49．（23-24高二上·广东江门·期末）已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于两点，交直线于点，则（    ） A．的面积的最大值为2 B． C． D． 50．（23-24高二上·山西·期末）已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为双曲线上一点时，的面积为4 B．当点坐标为时， C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为 D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为 三、填空题 51．（23-24高二下·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 52．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、.若P为椭圆上一点，且，则的面积为 . 53．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为 ，内切圆的半径为 . 54．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与交于两点.若的面积是面积的2倍，则的离心率为 . 55．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线渐近线上一点，满足，若以为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为 . 四、解答题 56．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 57．（23-24高二下·浙江·期中）如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．    (1)求抛物线的方程； (2)求的最小值． 58．（23-24高二下·河南·期中）已知椭圆过点，直线过的上顶点和右焦点，的倾斜角为，且满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)设两点为椭圆的左、右顶点，点（异于左、右顶点）为椭圆上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 59．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲：椭圆、双曲线、抛物线 【考点梳理】 · 考点一：椭圆的定义及其应用 · 考点二：椭圆焦点三角形问题 · 考点三：椭圆的方程 · 考点四：椭圆的几何性质 · 考点五：椭圆的离心率问题 · 考点六：双曲线的定义及其方程 · 考点七：双曲线的几何性质 · 考点八：双曲线的渐进线问题 · 考点九：双曲线的离心率问题 · 考点十：抛物线的最值问题 · 考点十一：抛物线的方程及其性质 · 考点十二：圆锥曲线的综合问题 【考点梳理】 知识点一、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 知识点二、．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 知识点三、．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x0＋ －x0＋ y0＋ －y0＋ 通径长 2p 【题型归纳】 题型一：椭圆的定义及其应用 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程转化为，利用椭圆定义法求标准方程. 【详解】已知动点满足方程， 设，且， 则有， 故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程， 则，， 故所求轨迹方程为, 故选：B. 2．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系，找到点满足的条件，结合椭圆的定义，直接写出方程即可. 【详解】根据题意，作图如下： 易知，则，即， 故点的轨迹是以为焦点且长轴长为6的椭圆， 设其方程为，则，则， 故，则椭圆方程为：. 故选：C. 3．（22-23高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 题型二：椭圆焦点三角形问题 4．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由图形及椭圆定义可得答案. 【详解】由椭圆方程可得：， 的周长为. 故选：D. 5．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案. 【详解】椭圆的焦距为，则， 由，的面积为，得，即， 又， 所以，即，， 又，则， 则椭圆的标准方程为． 故选：D． 6．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，直线过点，且与椭圆交于两点，若的周长为的面积为，则椭圆的焦距为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，求得，设，得到，再由题设条件，求得，结合余弦定理，求得的长，即可求解. 【详解】如图所示，由椭圆， 根据椭圆的定义，可得的周长，解得， 设，则， 又因为且的面积为，可得， 可得， 所以， 所以，即椭圆的焦距为. 故选：C. 题型三：椭圆的方程 7．（23-24高二上·安徽合肥·期末）“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】易知时，，但时有， 此时方程表示圆，所以不满足充分性， 若方程 表示的曲线为椭圆，则， 显然成立，满足必要性， 故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 8．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点坐标为，且椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，则此椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设椭圆的标准方程为，依题意可得，从而可求解. 【详解】因为椭圆一个焦点坐标为，所以设椭圆的标准方程为， 依题意可得，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 9．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【答案】 【分析】待定系数法求椭圆的标准方程. 【详解】由题知：，①又椭圆经过点，所以，②又，③ 联立解得：，故椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 题型四：椭圆的几何性质 10．（23-24高二上·天津·期中）椭圆C：（）的焦点为，，短轴端点为P，若，则 . 【答案】 【分析】先根据椭圆方程求解出的值，再根据的值求解出的值，由此求解出结果. 【详解】记坐标原点为， 因为，所以焦点在轴上，且， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 11．（21-22高二上·山东济宁·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率.若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则的周长为 ，的最大值为 . 【答案】 【分析】由椭圆的离心率公式可求得椭圆a，b，c，再根据椭圆的定义可求得的周长，由向量的数量积的坐标运算表示，由二次函数的性质和椭圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】解：因为椭圆的离心率，所以，又，即，所以，. 所以，，，， 设椭圆上的一点，则， 所以当时，取得最大值， 故答案为：8；. 12．（21-22高二上·广东广州·期末）已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方．若线段的中点M在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ． 【答案】. 【分析】设椭圆得左焦点为，连接，根据线段的中点M在以原点O为圆心，为半径的圆上，可得，从而可求得，在，利用余弦定理求得的余弦值，从而可得出答案. 【详解】解：设椭圆得左焦点为，连接， 由椭圆得，， 则，，， 因为点M在以原点O为圆心，为半径的圆上， 所以， 因为分别为得中点， 所以，所以， 所以，则， 所以， 因为点P在椭圆上且在x轴上方，则直线的倾斜角与互补， 所以直线的斜率. 故答案为：. 题型五：椭圆的离心率问题 13．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，延长交椭圆于点，且为等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义可得，则，求得，结合余弦定理计算可得，即可求解. 【详解】由椭圆的定义知，的周长为 ， 因为为等边三角形，所以， 所以，又，所以． 在中，由余弦定理得， 整理得，，所以． 故答案为： 14．（23-24高二上·广东汕头·期中）椭圆C：（）的左右两焦点分别为，，点P在椭圆上，正三角形面积为，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】作出辅助线，由等边三角形面积得到，，将其代入椭圆中，结合，求出，求出离心率. 【详解】取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 设，则， 故，解得，故， 故， 将代入中得，， 又，故，解得， 故，    故离心率为. 故答案为： 15．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由题意，，结合椭圆定义可将这些长度以及用同一个参数表示，然后分别在在、中，对利用余弦定理，结合离心率公式化为其次方程即可得解. 【详解】如图所示： 由题意，，， 所以不妨设， 而由椭圆定义有， 所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 交叉相乘得，即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决问题的关键在于表示出以及，然后利用余弦定理即可顺利得解. 题型六：双曲线的定义及其方程 16．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 【答案】3 【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解． 【详解】如图，画出草图． 由的离心率为，且，可得，解得. 因为， 所以由双曲线的定义，可得. 故答案为：． 17．（22-23高二上·吉林·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】若方程表示在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示在轴上的双曲线，则，此时. 综上所述，. 故答案为：. 18．（22-23高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的焦点为，，点在上且其关于原点的对称点为,，四边形的面积为6，则双曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线方程，根据题设可推得矩形，利用四边形的面积为6求出，即得点的坐标，代入双曲线方程，计算即得. 【详解】 如图，设双曲线的方程为：， 过点作于点，因点关于原点对称，又，则四边形为矩形， ，由四边形的面积为6，得，因，则， 于是，如图可取, 代入双曲线方程可得，，解得，， 故双曲线的方程为. 故答案为：. 题型七：双曲线的几何性质 19．（23-24高二上·江苏泰州·期中）设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦距，则 ． 【答案】 【分析】根据点在椭圆上先求出椭圆方程及焦距，再由双曲线的概念计算即可. 【详解】将点坐标代入椭圆方程得，即椭圆的焦距为， 因为表示双曲线，则或， 当时，双曲线的焦距为； 当时，双曲线的焦距为； 综上所述：. 故答案为： 20．（21-22高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线左焦点为为双曲线右支上一点，若的中点在以为半径的圆上，则的横坐标为 . 【答案】/ 【分析】根据中位线的性质求出；根据双曲线的定义求出，从而在中求出，然后根据即可求出答案. 【详解】设为的中点，为双曲线的右焦点，易知， 因为为的中点，所以， 由双曲线的定义，知， 连结，则，，所以， 所以，即. 故答案为：. 21．（2021·四川成都·一模）已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，再根据双曲线的定义以及勾股定理求得，即可得到四边形的面积． 【详解】由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形， 所以，解得， 所以四边形的面积为． 故答案为：． 题型八：双曲线的渐进线问题 22．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知A，B为双曲线E：（，）的左、右顶点，M为E上一点，若点M到x轴的距离为2，，，则E的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程可得，结合题意可得，即可得渐近线方程. 【详解】设，则，即， 可得， 则，即， 所以E的渐近线方程为． 故答案为：. 23．（23-24高二上·陕西·期中）已知为双曲线的右焦点，过点作轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点和点.若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】分别求得点和点，则可得，可得渐近线方程. 【详解】 设， 过点作轴的垂线，直线方程为， 所以令，代入双曲线方程得，所以， 又在第一象限，所以， 双曲线的一条渐近线为，令可得，即， 又，所以是，中点， 则，即， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故答案为：. 24．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为 .    【答案】 【分析】 利用点在双曲线上及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解. 【详解】 设，，则，解得， ∴. 在中，，则①. 由双曲线的定义，得②. 由①②得. ∵， ∴，即. ∴. ∴双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 题型九：双曲线的离心率问题 25．（23-24高二上·广东中山·期中）已知双曲线的左焦点为，方向向量为的直线l过与双曲线左，右两支分别交于，两点且，则双曲线离心率为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义及直角三角形的性质可得答案. 【详解】因为直线l过且方向向量为，所以倾斜角为，即，如图， 连接，由定义可得,， 因为，所以， 取AB中点Q，则，且， 中，由，可得， 所以， 中，由勾股定理可得，即离心率. 故答案为：    26．（2024·云南昆明·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用点到直线的距离公式求出的长，再利用双曲线的定义结合等腰三角形列式计算即得. 【详解】双曲线的半焦距为c，渐近线方程为， 点到渐近线距离为，由双曲线定义得， 由为等腰三角形，得，即，因此， 则，所以的离心率为. 故答案为： 27．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）设是双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点、，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设为双曲线的左焦点，由题意画出图形，由已知结合双曲线的定义求解，，再由余弦定理列式求解双曲线的离心率即可． 【详解】设为双曲线的左焦点，如图所示，    由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， ∴，， 而，所以， 由双曲线的定义可知，， ∴，， ∵，∴， 在中，由余弦定理知， 即，化简得， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 题型十：抛物线的最值问题 28．（23-24高二上·天津·期中）已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件先确定点坐标和准线方程，然后通过作关于准线的对称点结合三点共线求解出线段和的最小值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 不妨取，，准线， 作关于准线的对称点，则， 所以的最小值即为， 当且仅当三点共线时取最小值， 所以的最小值为， 故答案为：. 29．（20-21高二下·辽宁鞍山·期中）已知拋物线的焦点为，定点，设为拋物线上的动点，的最小值为 ，此时点坐标为 ． 【答案】 3 【分析】设点在准线上的射影为，由抛物线的定义把问题转化为求的最小值，由图形推断出当，，三点共线时最小，答案可得． 【详解】过点作垂直于准线，过作垂直于准线，， 取到最小值时，且为； 点与点的纵坐标相同，可设点为，， 则，解得， 所以点，． 故答案为： 3；    30．（23-24高二上·辽宁本溪·期中）已知抛物线：的准线为，，点是上任意一点，过作，垂足为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，可知的最小值为进而可得. 【详解】   如图，抛物线的焦点坐标为， 根据抛物线的定义，所以， 故当，，三点共线时，取得最小值为, , 故答案为： 题型十一：抛物线的方程及其性质 31．（21-22高二上·山东青岛·期中）已知点在抛物线上，且为焦点，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据已知及抛物线的定义求出标准方程，设出点坐标，代入求解即可. 【详解】解：已知点在抛物线上，且为焦点， 由定义知，， 抛物线. 设，由题意知， 则， 当时，取得最小值8， 则的最小值为. 故答案为：. 32．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知抛物线的焦点为F，M是y轴上一点，线段MF的延长线交C于点N，若，则 ． 【答案】2 【分析】作于D点，交y轴于A点，分析之间的关系，结合抛物线定义即可求解. 【详解】记抛物线的准线为， 如图，作于D点，交y轴于A点，则， 因为，所以为的中点， 所以，所以，解得． 故答案为：2 33．（23-24高二上·天津·期中）已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出抛物线焦点坐标和准线方程，根据，结合抛物线定义可求点的横坐标，代入抛物线方程，求出点的纵坐标，再用三角形面积公式计算即可. 【详解】由抛物线的方程为，所以，可得， 所以焦点为，准线方程为， 又为抛物线上一点，且，所以点到准线的距离为， 所以点的横坐标，所以，所以， 所以. 故答案为：. 题型十二：圆锥曲线的综合问题 34．（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率公式求出，即可得解； （2）设直线MN方程：，，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再求出直线EN方程，进而可得出结论. 【详解】（1）的周长为8，，故， ，，故，所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）， 设直线MN方程：，，，， 联立方程，得， 所以，， 所以， 又，所以直线EN方程为：， 令，则， 所以直线EN过定点． 35．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）解：设直线交双曲线于点、， 联立可得， 因为直线与双曲线左支有两个交点，则， 解得，故实数的取值范围是. （3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 设点、，因为为线段的中点，则， 将点、的坐标代入双曲线的方程可得， 作差可得，即， 即，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，则， 因此，不存在满足题设条件的直线. 36．（22-23高二上·浙江金华·期中）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的准线方程； (2)若时，求点的横坐标； (3)已知点是抛物线上的一动点，定点，则当点在抛物线上移动时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的方程求解即可； （2）设，，过焦点的弦长公式为，求出，即可求出点的横坐标； （3）将转化为点到定点的距离与点到准线的距离之和，要使得的最小，则点在一条直线上且垂直于准线，求解即可. 【详解】（1）抛物线，所以其准线方程为：. （2）设，，则，所以， 又点为线段的中点，所以点的横坐标为：. （3）抛物线焦点为，其准线方程为：， 由抛物线的定义可知点到焦点的距离即为点到准线的距离， 为点到定点的距离与点到准线的距离之和， 要使得的最小， 则点在一条直线上且垂直于准线， 故最小值即为点到准线的距离为. 【高分达标】 一、单选题 37．（23-24高二下·吉林·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求得直线的方程，继而求得点，利用勾股定理建立方程，解出即可. 【详解】设，则直线的斜率为， 直线的斜率为， 直线的方程为． 令，得，即． 因为， 所以，解得． 故选：B. 38．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据对称性利用中位线性质求得，再利用渐近线的斜率与直角三角形中角的正切值相等关系待定，进而得到相关长度求面积即可. 【详解】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为， 设与该渐近线交于点M，则，且. 由分别是与的中点，知且， 又右焦点，渐近线方程即， 故点到渐近线的距离为， 则在中，，解得， 所以由得，， 所以. 故选：D. 39．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性建立方程求解参数，得到抛物线方程，最后求解准线即可. 【详解】由题意可知，的坐标为.设点，则，， 即，得，， 即，得，因此， 解得，故抛物线的准线方程为. 故选：A 40．（23-24高三上·重庆·期中）已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当三点共线时，最小，然后求最小值即可. 【详解】 由题意得，等于点到准线的距离， 过点作垂直准线于点，则， 设动点，则，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， ， 所以当四点共线时，最小，. 故选：B. 41．（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值． 【详解】如下图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为，    由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，可知， 在中，则，，， 可得， 由余弦定理得， 整理得，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：B． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法： ①直接求出、，可计算出离心率； ②构造、的齐次方程，求出离心率； ③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解． 42．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，利用余弦定理得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 令，不妨设， 则解之得 由余弦定理可得， 化简得， 整理得，即， 也就是. 故选： 43．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出左焦点以及，利用椭圆定义表示出相关线段的长度，然后分别在直角中运用勾股定理，最后得到的关系式可求结果. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，      因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以， 故选：B. 44．（23-24高二上·宁夏银川·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义结合，求得，再在中，利用勾股定理求得之间的关系，从而得解. 【详解】因为在双曲线中，因为， 所以， 则，    在中，，， 所以，即，所以， 所以，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 45．（23-24高二上·四川·期中）已知分别是椭圆的左､右焦点，第一象限内的点在上，，直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的斜率可得，结合同角三角函数关系式求出，结合椭圆定义得，利用余弦定理即可求得的关系式，即可求得椭圆离心率. 【详解】由题意知直线的斜率为，即得， 得，为锐角， 结合,， 则， 由，得，    在中，， 得，所以，即， 可得的离心率， 故选：C 46．（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，双曲线左､右两支上各有一点，满足，且，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交交双曲线于点，连接，结合双曲线的定义与余弦定理可得关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】如图，延长交交双曲线于点，连接 因为，所以，根据双曲线的对称性可得关于原点对称 所以，则四边形为平行四边形，所以 设，则， 由双曲线定义可得：，所以， 在中，由余弦定理得， 则，整理得 所以， 在中，由余弦定理得， 则，整理得，所以 则该双曲线的离心率是. 故选：D. 二、多选题 47．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆没有交点， 所以假设不成立，即不存在点使得，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 48．（23-24高二上·广东中山·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为2，则 D． 【答案】AD 【分析】由焦点坐标求，判断A，设直线的方程，运用韦达定理和抛物线定义求斜率，判断B，写出直线的方程，运用韦达定理和抛物线的焦点弦弦长公式，计算可判断C，设直线的方程，由向量数量积的坐标公式和韦达定理，计算可判断D. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点为，可得，即，从而抛物线，故选项A正确； 对于选项B，设直线的方程，不等于0，代入，得， 所以，， 由抛物线定义可知，， 由，可得， 即，代入，可得， 由，可知，所以，从而， 把，代入，可得，故选项B错误； 对选项C，直线的斜率为2，所以直线方程：，即， 代入，可得，所以， 由抛物线定义可知，所以，故选项C错误； 对选项D，设直线的方程，代入，得， 所以，， 由， 即， 把，，代入， 可得，故选项D正确. 故选：AD. 49．（23-24高二上·广东江门·期末）已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于两点，交直线于点，则（    ） A．的面积的最大值为2 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，依次判断判断各选项即可求得答案. 【详解】设直线，由得：. 选项A：， 应是最小值为2，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C正确； 选项D：由，，， 得：，， ，故D正确. 故选：BCD 50．（23-24高二上·山西·期末）已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为双曲线上一点时，的面积为4 B．当点坐标为时， C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为 D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】依题意可得为直角三角形，设，，利用勾股定理及双曲线的定义求出，即可判断A，对称性可知为等腰直角三角形，即可求出，从而得到，即可判断B，曲线与双曲线的交点即为，联立双曲线方程，求出，即可求出，从而求出，即可判断C，由双曲线的定义及所给条件求出，即可得到为等边三角形，从而判断D. 【详解】因为为平面上一点，且，所以为直角三角形， 设，，在中由勾股定理可得①， 由双曲线的定义可得②， ②式的平方减①式可得，所以，故A正确； 由对称性可知为等腰直角三角形，因此，又且， 所以，故B正确； 因为，所以点在以为直径的圆上，所以该圆的圆心为原点，半径为， 即曲线与双曲线的交点即为，由， 则，即（负值舍去），所以， 所以离心率，故C错误； 由题意可知，，则， 所以，即为等边三角形，则直线的斜率为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题关键是双曲线的定义及性质的应用，双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到，的关系．. 三、填空题 51．（23-24高二下·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 【答案】 【分析】建立坐标系，设出抛物线方程为，从而可得A在抛物线上，代入可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 52．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、.若P为椭圆上一点，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义确定，结合条件，利用余弦定理求出，进而利用面积公式求出的面积. 【详解】 根据椭圆方程，有，，因为点在椭圆上，所以有 ，， 在中，由余弦定理有 ，所以，所以的面积为： 故答案为： 53．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为 ，内切圆的半径为 . 【答案】 【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】第一空，将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 离心率为：. 第二空，如图所示，    易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为：；. 54．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与交于两点.若的面积是面积的2倍，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据焦半径的角度式，结合题意，即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下： 设，则， 在△中，， 由余弦定理可得：， 即，解得； 在△中，，同理可得，故； 由题可知，，， 故，即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的方法诸多，选用焦半径的角度式从而解决焦半径比值问题，是常用的较为便捷的方式之一. 55．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线渐近线上一点，满足，若以为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由以及点在直线上，列出方程，根据抛物线的定义可知，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】设 由可知， 又点在直线上， 所以， 解得， 所以，轴， 于是根据抛物线的定义可知，且， 所以，即，所以， 则双曲线的离心率为. 故答案为： 四、解答题 56．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可； （2）设出直线的方程，将直线方程与曲线的方程联立，利用韦达定理及得到，，，求出的中点坐标和直线的方程，进而即可得证． 【详解】（1）因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等， 所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， 此时， 则曲线的方程为； （2）证明：设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时， 解得， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 设点为的中点， 此时， 所以直线的方程为， 令， 解得． 故点为定点，坐标为． 57．（23-24高二下·浙江·期中）如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．    (1)求抛物线的方程； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，再由弦长公式得到方程，解得即可； （2）根据数量积的运算律得到，又，同理可得，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）解法一：设直线， 联立，得， 所以． 又因为是的中点，所以， 又 ， 代入化简得，解得． 故抛物线的方程为． 解法二：设直线的倾斜角为，再设、的坐标都为， 代入抛物线方程得， 化简得． 则，， 因为是的中点，所以，即． 又因为， 将代入化简得， 即，所以抛物线的方程为． （2）解法一： ， 由（1）可得，， 因为 ， 同理， 所以， 当且仅当时，等号成立，即所求最小值为． ， 而， 所以CD的倾斜角为或，同理可求得， 即， 当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为． 58．（23-24高二下·河南·期中）已知椭圆过点，直线过的上顶点和右焦点，的倾斜角为，且满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)设两点为椭圆的左、右顶点，点（异于左、右顶点）为椭圆上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）先利用倍角公式结合，结合椭圆的性质列式求，即可得方程； （2）设，可得，结合斜率公式分析证明. 【详解】（1）因为， 由题意可知：，则， 可得，解得或（舍去）， 即的斜率为， 由题意可知：，解得， 所以椭圆方程为. （2）由（1）可知， 设，由可得， 则， 所以为定值. 59．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值． 【详解】（1）依题意，，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，而，则， 周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以周长的最大值为. （3）设直线的方程为，， 由消去得：，显然，， ， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$