数列期末复习专题(二）学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

期末复习——数列专题(二） * 学习目标： 1.复习并掌握求数列的通项公式. 2.复习并掌握并项求和，分组求和，错位相减，倒序相加以及裂项相消等基本数列求和方法. 一、知识梳理 数列的通项： (1)前n项和型：由Sn与an的关系求通项公式：当n≥2且n∈N*时，an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，a1＝S1. (2)递推公式型： 模 型 方 法 详 细 ① an＋1＝an＋f(n) 累加法 由形式写出n－1个迭代式，所有式子相加即可得. ② an＋1＝an·f(n) 累乘法 由形式写出n－1个迭代式，所有式子相乘即可得. ③ an＋1＝pan＋q 构造等比数列法 形式简单可直接构造，形式复杂可用此转化公式： 由an＋1＝pan＋q得an＋1＋t＝p(an＋t)，其中t＝. ④ an＋1＝pan＋qn 消幂法 等式两边同除以qn＋1，根据形式再利用模型. ⑤ an＋1＝ 倒数构造法 等式两边同时变成倒数形式，根据形式再利用模型. ⑥ an＋1－an＋pan＋1an＝0 除法构造法 通过各项同除构造出两个形式相同的比的迭代式 ⑦ an＋an＋1＝f(n)(一次式) 迭代构造法 对已知关系式进行一次迭代变换，可得一般形式. 数列求和： 模 型 方 法 详 细 ① “可拆分”“奇偶分组” 分组求和法 将数列进行基本拆分或按奇偶项分组，各组分别求和即可. ② {an＝(－1)n·f(n)} 并项求和法 正负相间排列的数列求和，须对数列项数奇偶性的讨论. ③ {an＝bn·cn} 错位相减法 bn为等差数列且cn为等比数列，为错位相减法标准模型. ④ {an＝f(n＋1)－f(n)} 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． ⑤ “f (x)+f (a-x)＝b” 倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 裂项求和部分形式： （1） （2） （3） （4） （5） 2025届高二数学学案 不预习不上课，不复习不作业 二、典例分析 题型一　由Sn与an的关系求通项公式 例1 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且Sn满足2Sn＝(n＋1)an，n∈N*.求数列{an}的通项公式． 题型二　累加法an＋1＝an＋f(n) 例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3n，求{an}的通项公式． 例3 已知数列满足， ，则=_______； 题型三　累乘法an＋1＝an·f(n) 例4 已知数列{an}中，a1＝，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 例5已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，(n+3)Sn＝nSn+1，n∈N*.求数列{an}的通项公式． 题型四　构造法之an＋1＝pan＋q 例6 已知数列{an}满足=1，，求{an}的通项公式； 例7 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*),求出数列{an}的通项公式． 题型五　构造法之an＋1＝pan＋qn 例8 已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 例9 已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝2an＋3n＋1，求an. 题型六　构造法之an＋1＝与an＋1－an＋pan＋1an＝0 例10 数列{an}中，，求数列{an}的通项公式. 例11 已知在数列{an}中，a1＝， ，则= 。 题型七　构造法之an＋an＋1＝f(n) 例12 知数列满足：an＋an＋1＝4n-3，(n∈N*),且a1=2，则an=________________. 题型八　分组求和法 例13 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t,点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上． (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 题型九　并项求和法 例14 已知数列中，. (1)求证：数列是常数数列； (2)令为数列的前n项和，求使得的n的最小值. 题型十　错位相减求和法 例15已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn＝2an－2(n∈N*)． ①求数列{an}的通项公式； ②若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 题型十一　裂项相消求和