数列期末复习专题(一)学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

期末复习——数列专题(一） * 学习目标： 1.复习并掌握数列，等差数列以及等比数列的概念与性质. 2.复习并掌握等差数列前n项和与等比数列前n项和的公式以及性质. 一、知识梳理 等差数列 等比数列 概 念 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列. 即：an＋1－an＝d (d为常数) 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为0），那么这个数列叫做等比数列. 即：＝q (q为非零常数) 通 项 公 式 an＝a1＋(n－1)d 拓展公式：an＝am＋(n－m)d an＝a1∙qn－1 拓展公式：an＝am∙qn－m 数 列 判 定 ①定义法：an＋1－an＝d ②中项法：an－1＋an＋1＝2an ③函数法：an＝kn＋b ④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn ①定义法：＝q ②中项法：an－1∙an＋1＝a ③函数法：an＝k∙qn ④前n项和公式法：Sn＝k∙qn－k 数 列 性 质 （1）单调性： ①d＞0 ⇔ 递增数列； ②d＜0 ⇔ 递减数列； ③d＝0 ⇔ 常数列. （2）对偶性： 若m+n=p+q，则am+an=ap+aq （3）等差中项： 若a，b，c成等差数列，则b叫做 a与c的等差中项，满足关系a＋c＝2b. （1）单调性： ①或 ⇔ 递增数列； ②或 ⇔ 递减数列； ③ q＝1 ⇔ 常数列. （2）对偶性： 若m+n=p+q，则am·an=ap·aq （3）等比中项： 若a，b，c成等比数列，则b叫做 a与c的等比中项，满足关系a∙c＝b2 前n项 和公式 Sn＝＝na1＋d Sn＝ 等距连 续性质 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列， 公差为m2d 当Sk≠0，k∈N*时，有Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk 等距间 隔性质 “ak，ak＋m，ak＋2m，…”成等差数列， 公差为md(k，m∈N*) “an，an＋k，an＋2k，…”成等比数列, 公比为qk 等差数列常用性质补充： 1．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 2．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (2)数列成等差数列； (3)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0). (4)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，＝(S奇≠0). (5)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n). 等比数列常用性质补充： 1．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 2. ； 3.当等比数列项数为偶数时，； 2025届高二数学学案 不预习不上课，不复习不作业 ————————————————————————————————————————————————— 二、典例分析 题型一　等差数列的通项公式及其应用 例1 在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时， －＝，则a16＝______________ 例2 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式. 题型二　等差数列与函数的关系 例3 已知数列是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________. 题型三　等差数列的判定 例4 已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明为等差数列，并求{an}的通项公式. 例5 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*). (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 题型四　等差数列的性质 例6 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式. 例7 已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝_____ 例8 若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________. 题型五　由等差数列生成的新等差数列 例9 已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，