考点18 一次函数与方程和不等式【八大题型】归类-2023-2024学年八年级数学下册考点归纳与解题策略（人教版）

考点18 一次函数与方程和不等式【八大题型】归类 1.一次函数与一元一次方程的关系的判断 1.数值角度：当一次函数y=kx＋b(k≠0)的函数值y=0时,对应的自变量x的值是一元一次方程kx＋b=0(≠0)的解； 2.图象角度：直线y=kx＋b(k≠0)与x轴交点的横坐标是一元一次方程kx＋b=0(≠0)的解； 注意： 利用一次函数的图象解一元一次方程时,画图要准璃,这样才可以通过观察图象得出方程的解。 2.关系的判断和解一元一次方程的步骤 (1)求一次函数图象与x轴交点的横坐标的实质是解一元一次方程,即①方程ax+b=0(a≠0)的解 直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标;②方程ax+b=n(a≠0)的解 直线y=ax+b(a≠0)与直线y=n交点的横坐标;③方程ax+b=x+d(a≠0)的解 直线y=ax+b(a≠0)与直线y=cx+d(c≠0)交点的横坐标. (2)利用一次函数的图象解一元一次方程的一般步骤 :①转化:将一元一次方程化为一次函数: ②画图;画出一次函数的图象: ③找点：找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标,即为一元一次方程的解。 学法指导： 一次函数与一元一次方程的关系要结合图形来理解运用.解一元一次方程可以借助函数图象,求函数图象上某点的横坐标可以借助解一元一次方程。, 3.一次函数与一元一次不等式的关系 一元一次不等式kx+b>0或kx+b＜0(k≠0)可看成一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值大于0成小于0时的情形。解一元一次不等式可以转化为当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值大于0或小于0时,求相应自变量的取值范围。 4.利用图像解一元一次不等式 (1)①kx+b>0的解集是当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值为正数时,自变量x的取值范围,对应的函数图象在x轴的上方; ②kx+b＜0的解集是当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值为负数时,自变量x的取值范围,对应的函数图象在x轴的下方； (2)①k1x+b1>k2x+b2(k1k2≠0)的解集,是直线y1=k1x+b1(k1≠0)位于直线y2=k2x+b2(k2≠0)上方(y1>y2)的部分对应的x的取值范围; ②k1x+b1＜k2x+b2(k1k2≠0)的解集,是直线y1=k1x+b1(k1≠0)位于直线y2=k2x+b2(k2≠0)下方(y1＜y2)的部分对应的x的取值范围; 注意： 一次函数与二元一次不等式的关系要结合图形来理解运用.一次函数与一元一次不等式的关系也是互逆的,可利用一次函数图象解一元一次不等式,也可通过解一元一次不等式确定相应的函数值所对应的自变量的取值范围。 5.一次函数与二元一次方程（组）的关系 1.一次函数与二元一次方程的关系 每个二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数,且a≠0,b≠0)都对应一个一次函数）,直线上毎个点的坐标都是方程ax+by=c的解。 2.一次函数与二元一次方程组的关系 二元一次方程组 a1x＋b1y＝c1(a1,b1,a2,b2都不为0，且a1,b1,a2,b2,c1,c2都是常数) a2x＋b2y＝c2 的解是一次函数y＝和y＝图像的交点坐标。 注意：每个二元一次方程都对应一个一次函数,也就是对应一条直线,因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数,也就是对应两条直线。 6.用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法 (1)转化:将二元一次方程组转化为两个一次函数； (2)画图:画出这两个一次函数的图象; (3)找点:找出这两个一次函数的图象的交点,即为二元一次方程组的解。 7.两直线交点的个数与二元一次方程组解的个数的关系 (1)如果两条直线只有一个交点,那么对应的二元一次方程组只有个解; (2)如果两条直线无交点,那么对应的二元一次方程组无解,就是两条直线平行的情况。 (3)如果两条直线是同一条直线,那么对应的二元一次方程组的解有无数个。 学法指导：数形结合思想的运用，从“数”的角度看,解方程组相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值。从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。 8.已知直线与坐标轴交点求方程的解 当一次函数y=kx＋b(k≠0)的函数值y=0时,对应的自变量x的值是一元一次方程kx＋b=0(≠0)的解； 9.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 从“数”看,解一元一次不等式相当于求x取何值时,函数值大于0或小于0;从“形”看,解一元一次不等式相当于确定图象在x轴上方部分或下方部分对应的自变量x的取值范围。 10.根据两条直线的交点求不等式的解集 运用一次函数与不等式的联系,确定不等式的解集问题时,要注意结合图象,确定交点的坐标,尤其是交点两侧直线的位置关系,不要弄错。两直线