考点15 函数基础知识【十二大题型】归类-2023-2024学年八年级数学下册考点归纳与解题策略（人教版）

考点15 函数基础知识【十二大题型】归类 1.常量与变量 在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量。 注意： (1)不能认为字母一定是变量,若字母的数值不发生变化,那它也是常量； (2)变量、常量与字母的指数没有关系,如在S=πr²中,π是常量,S,r是变量,不能说是变量，变量和常量是相对而言的,同一个量在不同的变化过程中角色往往不同.例如,在s=vt中,当s一定时,v,t是变量,s是常量;当t一定时，,s,v是变量,t是常量;当v一定时,s,t是变量,v是常量. 2. 函数的概念和性质 1.概念：一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量与y,并且对于x的一个确定的值,y都有唯一定的值与其对应,那么我们就说x是自变量，y是x的函数。“唯一确定的值”的意思,是存在性和和唯一性的统一。 2.函数的三个性质 (1)函数具有相互依存性:函数是一个变量相对于另一个变量而言的，例如,对于两个变量x与y,y是x的函数,不能说成y是函数; (2)函数具有唯一对应性:判断两个变量是否具有函数关系时,不能只看其是否有关系式的存在,还要看对于给定x的每一个值,y是否有唯一的值与之对应.例如,在y=±中,y就不是x的函数； (3)函数具有顺序性:如=x+3表示y是x的函数,而变化后的等式x=2y-6,则表示x是y的函数,变量在等式中的位置发生变化,函数与自变量所指代的变量(未知数)就发生了变化。 方法技巧： 1.函数不是数，函数的本质是对应的额，函数关系就是指变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系。有些函数关系式没有解析式的，如心电图中的时间与生物电流的关系。 2.判断一个关系是不是函数关系，用“三看”：一看是不是在一个变化过程中；二看在该变化过程中是不是有两个变量；三看对于一个变量每一个确定的值，另一个变量是不是都有唯一的值与其对应。 3.自变量的取值范围的方法 1. 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫做自变量的取值范围。 2. 常见的自变量的取值范围的求法： 所给代数式的形式 自变量的取值范围 举例 整式 一切实数 在y＝x²＋3x-2中，x为所有实数 分式 使分母不为0的一切实数，注意不能随意约分，同时注意“或”和“且”的含义 在y＝中，x-5≠0，得x≠5 偶次根式 被开方数英满足大于或等于0 在y＝中，x-9≥0，x≥9 0次幂或负整数指数幂 底数不为0 在y＝（x-4）0中，得x-4≠0，得x≠4, 复合形式 列不等式组，使所有式子同时有意义 在y＝中，x-4≥0，x－10≠0，得x≥4且x≠10 3. 在实际问题中自变量的取值范围时，自变量的取值范围不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义。 4.函数解析式及函数值 1.函数解析式的概念：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式。 注意： (1)函数解析式中指明了哪个是自变量,哪个是函数,通常等式右边的代数式中的变量是自变量,等式左边的变量表示函数； (2)书写函数的解析式是有顺序的,例如,y=2x-1表示y是x的函数,若x=2y-1,则表示x是y的函数,所以求y关于x的函数解析式时,是用含x的代数式表示y； (3)确定实际问题的函数解析式时,一定不能忽略自变量的取值范围。 2.函数值的概念：如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。函数值是和自变量取值对应的,它也要保证实际问题有意义。 注意：要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对于关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的。 3、求函数值与求自变量的值的区别 (1)已知函数解析式求函数值,实际上就是将自变量的值代入函数解析式,求代数式的值;已知函数解析式并给出函数值,求相应自变量x的值,实际上就是解方程； (2)已知自变量的值求函数值,函数值是唯一的:已知函数值求自变量的值,对应自变量的值可以有多个.例如,在函数y=9-x²中,当x=3时,y=0;当y=0时,x＝±2. 5.函数图像获取函数关系 从函数图象获取信息时应注意三点： (1)图象的最大值或最小值； (2)随自变量的增加，函数值是增加、减小，还是不变；讨论变化规律； (3)观察图象是否是几种变化情况的组合，是否需要分情况。 6.用描点法画函数图像的一般步骤： 1.列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值; 2.描点:在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点； 3.连线:按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线接起来。 注意： 1.列表时要根据自变量的取值范国取值,从小到大或自中间向两边选取,取值要有代表性,尽量使画