查补重难点08 解直角三角形及其应用-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关（江苏专用）

查补重难点08.解直角三角形及其应用 考点一：解直角三角形及其性质 1.锐角三角函数的性质 当0°＜∠A＜90°时，sin A随∠A的增大而增大 ；cos A随∠A的增大而减小 ；tan A随∠A的增大而增大。 2.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 3.在解直角三角形的过程中，常用关系： 在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1。 4.三角函数特殊值（熟记）： sin30°=；sin45°=；sin60°=；cos30°=；cos45°=；cos60°=；tan30°=；tan45°=1；tan60°= 题型1.求锐角三角函数值 在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比，但最重要的还是要以记清三角函数特殊角的函数值为前提。根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形。 例1．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则 ．    变式1．（2022·江苏扬州·中考真题）在中，，分别为的对边，若，则的值为 ． 变式2．（2023·江苏盐城·模拟预测）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一副如图所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图所示的造型恰好放入矩形中其中点，，，都在矩形边上，若，则的正切值为 ． 题型2.网格图与锐角三角函数 在网格中求锐角三角形函数值，关键是利用锐角边上的格点找到直角三角形或构造直角三角形来进行求解。当锐角所在的三角形是直角三角形时，根据锐角三角函数的定义就可以直接求解;若锐角所在的三角形是非直角三角形时，常需要通过作垂线、平移线段等方式构造直角三角形，并辅以等积法求关键线段来解决。 例1．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．    变式1．（2024·江苏连云港·一模）如图是的网格，每个格子都为正方形．点A，B，C，D，E均为格点，线段交于点O．则 ． 变式2．（2023·江苏连云港·二模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点O，A，B，C都在格点上，若，则的值为 ． 题型3.解直角三角形 解直角三角形的基本策略：1）有“弦”用“弦”；2）无“弦”用“切”；3）宁“乘”毋“除”；4）化“斜”为“直”；5）取“原”避“中”。 注意：当已知条件为斜三角形的边和角时，往往需要通过适当添加辅助线构造出直角三角形，进而转化为解直角三角形的问题。 例1.（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(   ) A．1 B．2 C．6 D．8 变式1．（2023·江苏苏州·一模）如图，点O是正五边形的中心，于点H．则（　　） A． B． C． D． 变式2.（2023年山东省济宁市中考数学真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    题型4.锐角三角函数的性质 当0°＜∠A＜90°时，sin A随∠A的增大而增大 ；cos A随∠A的增大而减小 ；tan A随∠A的增大而增大。 例1.（2023·重庆·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0<sin<1 变式1．（2023·四川成都·校考模拟预测）比较大小： （填“”“”）． 变式2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（    ）范围内． A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90° 题型5.新定义问题 锐角三角函数新定义问题主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 图1 图2 2）余弦定理：如图2，； ； ． 3）正弦面积公式：如图2，. 4）和（差）、二倍角角公式： ; . ;