查补重难点07 圆的相关计算与证明-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关（江苏专用）

查补重难点07.圆的相关计算与证明 考点一：圆的基本概念与性质 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 2.圆心角、弧、弦的关系（定理）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理的推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角． 3）圆内接四边形的对角互补． 题型1.垂径定理及其运用 1.如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。 总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。 2.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 例1.（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，、、是上的点，，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024·江苏徐州·一模）如图，是的内接三角形，若，，则的半径长为(    ) A．4 B． C．2 D．1 变式3．（2023年湖南省永州市中考数学真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．    题型2.圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。 例1.（2023·辽宁·校联考一模）如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 变式2.（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知． (1)求证：；(2)如果的半径为5，，求的长．    题型3.圆周角定理的运用 1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。 例1.（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点，，在圆上，，的半径的长为，则劣弧的长是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知四边形内接于，，、的延长线相交于点E，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·江苏·中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．    题型4.圆的内角四边形 性质：（1）圆内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°。 例1（2023·江苏·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ． 变式1．（2022·江苏南京·中考真题）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ． 变式2．（2023·江苏宿迁·二模）如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（   ）    A． B． C． D． 考点二：与圆有关的位置关系 1.切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。 2.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）； （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）； （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。 3.切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 4.三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 5.三角形内切圆：与三角形