压轴题型12 平面向量常考压轴小题-2024年高考数学压轴题专项训练（新九省专用）

压轴题型12 平面向量常考压轴小题 命题预测 平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现．常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，与三角函数、解析几何密切相连． 高频考法 （1）平面向量基本定理及其应用 （2）等和线问题、极化恒等式 （3）平面向量范围与最值问题 01 平面向量基本定理及其应用 平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有： （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． 【典例1-1】（2024·高一·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 【典例1-2】（2024·四川绵阳·三模）在半径为的中，弦的长度为，则的值为（    ） A． B． C． D．与有关 【变式1-1】（2024·宁夏银川·一模）在中，，，，是内一点，，且的面积是的面积的倍，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·全国·二模）如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-3】（多选题）（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形中，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 02 等和线问题、极化恒等式 1、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 2、极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【典例2-1】（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 . 【典例2-2】（2024·高三·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高三·江西·开学考试）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 03 平面向量范围与最值问题 平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路： ①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； ②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 【典例3-1】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 【典例3-2】（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D．5 2．在平行四边形中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D