专题14抛物线讲义-2024届高考数学三轮冲刺

专题14 抛物线 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 专题定位 高考频度 ★★★★★ 考情分析 高考数学中，抛物线这个考点考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想。 真题解读 一、选择题 【真题1】（2023•北京）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝﹣3的距离为5，则|MF|＝（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解答】解：如图所示，因为点M到直线x＝﹣3的距离|MR|＝5， ∴点M到直线x＝﹣2的距离|MN|＝4． 由方程y2＝8x可知，x＝﹣2是抛物线的准线， 又抛物线上点M到准线x＝﹣2的距离和到焦点F的距离相等， 故|MF|＝|MN|＝4． 故选：D． 【真题2】（2023•上海）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（　　） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确， 在双曲线中，|PM|max→+∞，|PM|min＝0，当|PM|＝0时，Q点不存在； 当|PM|min＝n，0＜n≤1时，|QM|， 但当|PM|，此时|QM|n，这与|PM|min＝n矛盾，故②错误． 故选：B． 二、多选题 【真题3】（2023•新高考Ⅱ）设O为坐标原点，直线y（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　） A．p＝2 B．|MN| C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 【答案】AC 【解答】解：直线y（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得1，所以p＝2，所以A正确； 抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点， 直线方程代入抛物线方程可得：3x2﹣10x+3＝0，xM+xN， 所以|MN|＝xM+xN+p，所以B不正确； M，N的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：1， 所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确； 3x2﹣10x+3＝0，不妨可得xM＝3，xN，yM＝﹣2，yN， |OM|，|ON|，|MN|， 所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确． 故选：AC． 三、填空题 【真题4】（2023•乙卷）已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　 　． 【答案】． 【解答】解：点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则5＝2p，解得p， 由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为． 故答案为：． 四、解答题 【真题5】（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W． （1）求W的方程； （2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设点P点坐标为（x，y），由题意得|y|， 两边平方可得：y2＝x2+y2﹣y， 化简得：y＝x2，符合题意． 故W的方程为y＝x2． （2）解法一：不妨设A，B，C三点在W上，且AB⊥BC． 设A（a，a2），B（b，），C（c，）， 则，． 由题意，0，即（b﹣a）（c﹣b）+（b2﹣a2）（c2﹣b2）＝0， 显然（b﹣a）（c﹣b）≠0，于是1+（b+a）（c+b）＝0． 此时，|b+a|．|c+b|＝1．于是min{|b+a|，|c+b|}≤1． 不妨设|c+b|≤1，则a＝﹣b， 则|AB|+|BC|＝|b﹣a||c﹣b| ＝|b﹣a||c﹣b| ≥|b﹣a||c﹣b| ≥|c﹣a| ＝|b+c|． 设x＝|b+c|，则f（x）＝（x），即f（x）， 又f′（x）． 显然，x为最小值点．故f（x）≥f（）， 故矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）≥2f（x）≥3． 注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|＝1，另一个是|b+c|， 这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证． 解法二：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|． 由图象的平移可知，将抛物线W看作y＝x2不影响问题的证明． 设A（a，a2）（a≥0），平移坐标系使A为坐标原点， 则新抛物线方程为y′＝x′2+2ax′，写为极坐标方程， 即ρsinθ＝ρ2cos2θ+2aρcosθ，即ρ． 欲证明的结论为||+||， 也即||+||．