专题13双曲线讲义-2024届高考数学三轮冲刺

专题13 双曲线 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 专题定位 高考频度 ★★★★☆ 考情分析 高考数学中，双曲线这个考点考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想。 真题解读 一、选择题 【真题1】（2023•甲卷）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为， 可得ca，所以b＝2a， 所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x， 一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1， 圆的圆心到直线y＝2x的距离为：， 所以|AB|＝2． 故选：D． 【真题2】（2023•乙卷）设A，B为双曲线x21上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　） A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4） 【答案】D 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0）， ， ①﹣②得k×kAB＝9， 对于选项A：可得k＝1，kAB＝9，则AB：y＝9x﹣8， 联立方程，消去 y 得72x2﹣2×72x+73＝0， 此时Δ（﹣2×72）2﹣4×72×73＝﹣288＜0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得k＝﹣2，kAB，则AB：y， 联立方程，消去 y 得45x2+90x+61＝0， 此时Δ＝（2×45）2﹣4×45×61＝﹣4×45×16＜0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得k＝3，kAB＝3，则AB：y＝3x， 由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则AB：y＝3x为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：k＝4，kAB，则AB：y， 联立方程，消去 y 得63x2+126x﹣193＝0， 此时Δ＝1262+4×63×193＞0，故直线 AB 与双曲线有交两个交点，故D正确． 故选：D． 【真题3】（2023•天津）双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【解答】解：因为过F2（c，0）作一条渐近线y的垂线，垂足为P， 则|PF2|b＝2，所以b＝2①， 联立，可得x，y，即P（，）， 因为直线PF1的斜率， 整理得（a2+c2）＝4ab②， ①②联立得，a，b＝2， 故双曲线方程为1． 故选：D． 二、填空题 【真题4】（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，，则C的离心率为　 　． 【答案】． 【解答】解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n）， 设A（x，y），则， 又，则，可得， 又⊥，且， 则，化简得n2＝4c2． 又点A在C上， 则，整理可得， 代n2＝4c2，可得，即， 解得或（舍去）， 故． （法二）由，得， 设，由对称性可得， 则， 设∠F1AF2＝θ，则， 所以，解得t＝a， 所以， 在△AF1F2 中，由余弦定理可得， 即5c2＝9a2，则． 故答案为：． 【真题5】（2023•北京）已知双曲线C的焦点为（﹣2，0）和（2，0），离心率为，则C的方程为　 　． 【答案】． 【解答】解：根据题意可设所求方程为，（a＞0，b＞0）， 又，解得，c＝2，b2＝2， ∴所求方程为． 故答案为：． 三、解答题 【真题6】（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为， 则，解得， 故双曲线C的方程为； （2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点， 则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2）， 记C的左，右顶点分别为A1，A2， 则A1（﹣2，0），A2（2，0）， 联立，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0， 故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝256m2+192＞0且4m2﹣1≠0， ，， 直线MA1的方程为，直