专题12椭圆讲义-2024届高考数学三轮冲刺

专题12 椭圆 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 专题定位 高考频度 ★★★★★ 考情分析 高考数学中，椭圆这个考点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想。 真题解读 一、选择题 【真题1】（2023•新高考Ⅰ）设椭圆C1：y2＝1（a＞1），C2：y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2e1，则a＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由椭圆C2：y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2， ∴椭圆C2的离心率为e2，∵e2e1，∴e1，∴， ∴44（）＝4（1），即34， 解得a1（负的舍去），即a． 故选：A． 【真题2】（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0）， 椭圆C：的左，右焦点分别为F1（，0），F2（，0）， 由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|， ∴|xM|＝2|xM|，解得xM或xM＝3， ∴﹣m或﹣m＝3，∴m或m＝﹣3， 联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0， ∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4， ∴m＝﹣3不符合题意， 故m． 故选：C． 【真题3】（2023•甲卷）已知椭圆1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2，则|PO|＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c， O为原点，P为椭圆上一点，， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，得m+n＝6， 4c2＝m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，即12＝m2+n2mn，得mn，m2+n2＝21， （）， 可得|PO|2（m2+n2+2mncos∠F1PF2）（m2+n2mn） （21）． 可得|PO|． 故选：B． 【真题4】（2023•甲卷）设F1，F2为椭圆C：y2＝1的两个焦点，点P在C上，若•0，则|PF1|•|PF2|＝（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足•0，可得∠F1PF2， 又由椭圆C：y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4， 则有|PF1|+|PF2|＝2a＝2，|PF1|2+|PF2|2＝（2c）2＝16， 可得|PF1|•|PF2|＝2， 故选：B． 二、解答题 【真题5】（2023•乙卷）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点A（﹣2，0）在C上． （1）求C的方程； （2）过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 【答案】（1）椭圆C的方程为； （2）MN的中点为定点（0，3），证明过程见解析． 【解答】解：（1）由题意，，解得． ∴椭圆C的方程为； 证明：（2）如图， 要使过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，则PQ的斜率存在且小于0， 设PQ：y﹣3＝k（x+2），即y＝kx+2k+3，k＜0，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，得（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16k（k+3）＝0． Δ＝[8k（2k+3）]2﹣4（4k2+9）•16k（k+3）＝﹣1728k＞0． ，， 直线AP：y，取x＝0，得M（0，）； 直线AQ：，取x＝0，得N（0，）． ∴ ＝2 ＝2 ＝2． ∴MN的中点为（0，3），为定点． 【真题6】（2023•北京）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，A、C分别为E的上、下顶点，B、D分别为E的左、右顶点，|AC|＝4． （1）求E的方程； （2）点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝﹣2交于点N．求证：MN∥CD． 【答案】（1）1． （2）见证明过程． 【解答】解：（1）由题意可得：2b＝4，e，a2＝b2+c2， 解得b＝2，a2＝9， ∴椭圆E的方程为1． （2）证明：A（0，2），B（﹣3，0），C（0，﹣2），D（3，0）， 直线BC的方程为1，化为2x+3y+6＝0． 设直线AP的方程为：y＝kx+2，（k＜0），∴N（，﹣2）． 联立，化为：（4+9k2）x2+36kx＝0， 解得x＝0或，∴P（，）． 直线PD方程为：y（x﹣3），即y（x﹣3）， 与2x+3y+6＝0联立，解得x，y．∴M（，）． ∴kMN，kCD， ∴MN∥CD． 【真题7】（2023•天津）设椭圆1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A