专题09 立体几何初步讲义——2024届高考数学三轮冲刺讲与练

专题09 立体几何初步 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 专题定位 高考频度 ★★★★★ 考情分析 高考数学中，立体几何初步这个考点主要以选择题、填空题的形式出现．会涉及到体积，表面积，角度等计算，涉及到最值计算，范围求取，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力。 真题解读 一、选择题 【真题1】（2023•甲卷）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC，则该棱锥的体积为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【真题2】（2023•甲卷）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（　　） A． B． C． D． 【真题3】（2023•乙卷）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（　　） A．π B．π C．3π D．3π 【真题4】（2023•乙卷）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C﹣AB﹣D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【真题5】（2023•上海）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　） A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C 【真题6】（2023•北京）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形．若AB＝25m，BC＝AD＝10m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（　　） A．102m B．112m C．117m D．125m 【真题7】（2023•天津）在三棱锥P﹣ABC中，线段PC上的点M满足PMPC，线段PB上的点N满足PNPB，则三棱锥P﹣AMN和三棱锥P﹣ABC的体积之比为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 【真题8】（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（　　） A．直径为0.99m的球体 B．所有棱长均为1.4m的四面体 C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体 【真题9】（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（　　） A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 三、填空题 【真题10】（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1，则该棱台的体积为　 　． 【真题11】（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为　 　． 【真题12】（2023•甲卷）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是　 　． 【真题13】（2023•甲卷）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为　 　． 【真题14】（2023•上海）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有　 　． 考向突破 考向1 空间几何体的结构特征 解法技巧 空间几何体： （1）线线位置关系：平行、相交、异面． （2）线面位置关系：平行、相交、线在面内． （3）面面位置关系：平行、相交． 【模拟01】（2024•石嘴山模拟）设a，b，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若a⊥β，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，则“b⊥l”是“a⊥b”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【模拟02】（2024•锦州模拟）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（　　） A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β C．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥