专题11 直线与圆讲义——2024届高三数学三轮冲刺

专题11 直线与圆 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 专题定位 高考频度 ★★★★☆ 考情分析 高考数学中，直线与圆这个考点主要以选择题的形式出现．常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。常考查由直线与圆相切或相交来解决问题(解析法、几何法)，常与平面向量、几何概型、三角函数、函数与最值等联合考查。 真题解读 一、选择题 【真题1】（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin，再计算cos和sinα的值． 【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r； 设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC2， △PAC中，sin，所以cos， 所以sinα＝2sincos2． 故选：B． 【真题2】（2023•乙卷）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（　　） A．1 B．4 C．1+3 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，设z＝x﹣y，分析x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0和x﹣y﹣z＝0，结合直线与圆的位置关系可得有3，解可得z的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆， 设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，其几何意义为直线x﹣y﹣z＝0， 直线y＝x﹣z与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9有公共点，则有3，解可得1﹣3z≤1+3， 故x﹣y的最大值为1+3． 故选：C． 【真题3】（2023•乙卷）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|，则•的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】设∠OPC＝α，则，根据题意可得∠APO＝45°，再将•转化为α的函数，最后通过函数思想，即可求解． 【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则， 根据题意可得：∠APO＝45°， ∴ ＝cos2α﹣sinαcosα ， 又，∴当，α，cos（）＝1时， 取得最大值． 故选：A． 二、填空题 【真题4】（2023•新高考Ⅱ）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　 　． 【答案】2（或﹣2或或）． 【分析】由“△ABC面积为，求得sin∠ACB，设∠ACB＝θ，得到cosθ，进而求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解． 【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2， 因为△ABC的面积为，可得S△ABC2×2×sin∠ACB， 解得sin∠ACB，设∠ACB＝θ所以∴2sinθcosθ， 可得，∴，∴tanθ或tanθ＝2， ∴cosθ或cosθ， ∴圆心到直线x﹣my+1＝0的距离d或， ∴或， 解得m＝±或m＝±2． 故答案为：2（或﹣2或或）． 法二：由题意可知⊙C的半径为2，圆心坐标为C（1，0）， 设圆心C到直线x﹣my+1＝0的距离为d，则弦长为|AB|＝2， ∴S△ABC2d，解得d2或d2， ∴d或d， 当d时，由点到直线的距离公式可得，解得m＝±2， 当d时，由点到直线的距离公式可得，解得m＝±， 综上所述：m＝±2或m＝±． 故答案为：2（或﹣2或或）． 【真题5】（2023•天津）过原点的一条直线与圆C：（x+2）2+y2＝3相切，交曲线y2＝2px（p＞0）于点P，若|OP|＝8，则p的值为　 　． 【答案】6． 【分析】不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），由直线与圆相切求解k值，可得直线方程，联立直线与抛物线方程，求得P点坐标，再由|OP|＝8列式求解p的值． 【解答】解：如图， 由题意，不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），即kx﹣y＝0， 由圆C：（x+2）2+y2＝3的圆心C（﹣2，0）到kx﹣y＝0的距离为， 得，解得k（k＞0）， 则直线方程为y， 联立，得或，即P（）． 可得|OP|，解得p＝6． 故答案为：6． 【真题6】（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　 　． 【答案】﹣3． 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可． 【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m， ∵圆的面积为π，∴圆的半径为1， ∴4+m＝1， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 考向突破 考向1