1.1 周期变化 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章 三角函数 §1 周期变化 高一数学组 赵忠保 亳州五中 周期现象 春分 冬至 秋分 夏至 春 夏 秋 冬 周而复始，循环往复 亳州五中 抽象概括 概念：每经过相同间隔，都重复发生的现象叫作周期现象。 其中相同间隔叫作周期现象的周期。 练习1 下列是周期现象的有（ ）。 ①日出日落； ②一周七天； ③潮涨潮落； ④任意整数除以4的余数。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 练习2 2024年是奥运年，下列年份不是奥运年的是（ ）。 A．2050年 B．2060年 C．2088年 D．2108年 D A 亳州五中 实例分析 例1 讨论函数（其中表示不超过的最大整数） 的图象与性质。 解：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ··· 在平面直角坐标系中，该函数的图象如图所示： 由图知，对任意的实数，每增加2的整数倍，函数值不变，即函数值的变化是周期性的。 = 亳州五中 实例分析 例2 讨论函数（其中表示不超过的最大整数） 的图象与性质。 解：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ··· 在平面直角坐标系中，该函数的图象如图所示： 由图知，对任意的实数，每增加1的整数倍，函数值不变，即函数值的变化是周期性的。 = 亳州五中 抽象概括 定义：一般地，对于函数，，如果存在一个非零 常数，使得对任意的，都有且满足 ， 那么函数称作周期函数。 非零常数称作这个函数的周期。 定义：如果非零常数是函数的一个周期，那么 （，）都是函数的周期。如果在函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个 最小的正数称作函数的最小正周期。 注意：周期函数的周期不止一个，但不一定有最小正周期！ 亳州五中 概念辨析 练习3 下列说法正确的是（ ）。 A．函数满足，所以6是函数的周期 B．函数满足，所以2是函数的周期， 且2是最小正周期 C．函数满足，所以1不是函数的 周期，所以函数不是周期函数 D．函数常数满足任意非零实数， 所以任意非零实数都是函数的周期 D 亳州五中 典例讲解 例3 讨论函数，是否为周期函数，如果是， 请指出它的周期。 解：当时，函数值分别为8，6，8，6，8，··· 显然函数为周期函数，且周期 证明如下： 对， 。 即 ，所以2是函数的一个周期。 提示：判断一个函数是否是周期函数，可以通过函数值先 直观判断，然后再根据周期函数的定义证明！ 亳州五中 典例讲解 例4 函数是周期为2的周期函数， 且，。 （1）画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、 零点、最大值、最小值； （2）求的值； （3）求在区间上的解析式，其中。 解：（1）函数在区间上的图象为 递增区间为和； 递减区间为和 函数的零点有。 ； 。 （2）因为函数周期，所以 。 思考：如何求？ 亳州五中 典例讲解 例4 函数是周期为2的周期函数， 且，。 （1）画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、 零点、最大值、最小值； （2）求的值； （3）求在区间上的解析式，其中。 解：（3）设，则。 ，， 。 因为函数的周期， 所以， ， 。 归纳总结 利用周期求函数解析式的一般过程： （1）求谁设谁； （2）脱周代入； （3）等量代换。 思考：函数在定义域上的解析式是吗？ 亳州五中 练习巩固 1、（P3练习3）周期函数的图象如图。 （1）求函数的周期； （2）写出函数的解析式。 2、（P3习题A组1）如图，钟摆从最高点A的位置开始摆动， 每经过1.8s又回到A。那么，在图中钟摆达到最高位置A时 开始计时，经过1min后，请你估计钟摆在铅锤线的左边还 是右边。 3、（P4习题A组2）如图，一个质点在平衡位置点O附近摆动， 如果不计阻力，可将这个摆动看作周期运动。它离开点O向右 运动4s后第1次经过点M，再过2