重庆市第七中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

重庆市第七中学校 2023-2024学年度下期 高2026届半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数（i为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 2. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ） A. ， B. ，，且 C. ，， D ，，， 4. 某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字.该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是（ ） A. 最 B. 美 C. 逆 D. 行 5. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9. 已知向量，，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为 C. 若，则 D. 若，则在方向上的投影向量坐标为 10. 已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是（ ） A. 若复数，则其对应复平面上的点在第二象限 B. 若复数满足，则 C. D 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 13. 已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则_________． 14. 在中，角，，的对边分别为，，，若为钝角，， ，点是的重心，且，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，矩形中，，，点为的中点，且． （1）试用和表示； （2）若，求的值． 16. 从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答. 在中，分别是角对边，若__________. （1）求； （2）若且，求的面积. 17. 如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上点，且，为侧棱的中点． （1）求正四棱锥的表面积； （2）证明：平面； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 18. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知， ． （1）求角B； （2）若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由； （3）若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围． 19. 在中，角A，，对应的边分别为，，，． （1）求角A； （2）法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用． ①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件； ②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件； ③在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值． 重庆市第七中学校 2023-2024学年度下期 高2026届半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分