专题10 立体几何综合讲义-2024年高考数学三轮冲刺

专题10 立体几何综合 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 专题定位 高考频度 ★★★★★ 考情分析 高考数学中，立体几何综合这个考点主要以解答题的形式出现．考查线面平行与垂直、空间几何体的表面积与体积、空间角等．命题会涉及到线面平行与垂直的证明，等体积法求空间几何体的体积，空间向量法求空间距离、空间角，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想。 真题解读 一、解答题 【真题1】（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3． （1）证明：B2C2∥A2D2； （2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P． 【真题2】（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点． （1）证明BC⊥DA； （2）点F满足，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值． 【真题3】（2023•甲卷）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距离为1． （1）求证：AC＝A1C； （2）若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． 【真题4】（2023•乙卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO． （1）求证：EF∥平面ADO； （2）若∠POF＝120°，求三棱锥P﹣ABC的体积． 【真题5】（2023•乙卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC，ADDO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO． （1）证明：EF∥平面ADO； （2）证明：平面ADO⊥平面BEF； （3）求二面角D﹣AO﹣C的正弦值． 【真题6】（2023•北京）如图，四面体P﹣ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC，PA⊥平面ABC． （Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB； （Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的大小． 【真题7】（2023•上海）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4． （1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小． 【真题8】（2023•天津）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M，N分别为BC，AB中点． （Ⅰ）求证：A1N∥平面C1MA； （Ⅱ）求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值； （Ⅲ）求点C到平面C1MA的距离． 考向突破 考向1 求体积 解法技巧 求体积： （1）公式法． （2）等体积法． 【模拟01】（2024•四川模拟）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，，BD＝DE＝2BF＝2，DE⊥AC，BF∥DE． （1）求证：平面ACF⊥平面BDEF； （2）当BF⊥CD时，求三棱锥D﹣ACF的体积． 【模拟02】（2024•静安区二模）如图1所示，ABCD是水平放置的矩形，，BC＝2．如图2所示，将ABD沿矩形的对角线BD向上翻折，使得平面ABD⊥平面BCD． （1）求四面体ABCD的体积V； （2）试判断与证明以下两个问题： ①在平面BCD上是否存在经过点C的直线l，使得l⊥AD； ②在平面BCD上是否存在经过点C的直线l，使得l∥AD． 【模拟03】（2024•榆林二模）如图，在底面是正方形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，BC＝1，CC1＝3，． （1）证明：四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱． （2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积． 【模拟04】（2024•河北区模拟）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝4，A1B1＝A1C1＝A1A＝2，侧棱A1A⊥平面ABC，点D是CC1的中点． （1）求证：BB1⊥平面AB1C； （2）求点B1到平面ABD的距离； （3）求平面AB1C和平面ABD夹角的余弦值． 【模拟05】（2024•苏州模拟）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1是A1C和B1C1的公垂线段，A1B与平面ABC成60°角，AB＝2，A1A＝AC＝2． （1）求证：AB⊥平面A1BC； （2）求A1到平面ABC的距离； （3）求二面角A1﹣AC﹣B的大小． 考向2 求线面角 解法技巧 求线面角： （1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂