专题07 数列 讲义-2024届高考数学三轮冲刺

专题07 数列 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 专题定位 高考频度 ★★★★★ 考情分析 高考数学中，数列这个考点考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查等差、等比数列的性质；考查数列的求和方法，考查根据数列的递推公式求通项公式，考查数列和其他知识结合等综合知识．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高． 真题解读 一、选择题 【真题1】（2023•新高考Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（　　） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【真题2】（2023•新高考Ⅱ）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120 【真题3】（2023•甲卷）已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（　　） A．7 B．9 C．15 D．30 【真题4】（2023•甲卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（　　） A．25 B．22 C．20 D．15 【真题5】（2022•乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（　　） A．14 B．12 C．6 D．3 【真题6】（2023•天津）已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an+1＝2Sn+2，则a4的值为（　　） A．3 B．18 C．54 D．152 【真题7】（2023•北京）数列{an}满足an+1（an﹣6）3+6，下列说法正确的是（　　） A．若a1＝3，则{an}是递减数列，∃M∈R，使得n＞m时，an＞M B．若a1＝5，则{an}是递增数列，∃M≤6，使得n＞m时，an＜M C．若a1＝7，则{an}是递减数列，∃M＞6，使得n＞m时，an＞M D．若a1＝9，则{an}是递增数列，∃M∈R，使得n＞m时，an＜M 二、填空题 【真题8】（2023•甲卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为　 　． 【真题9】（2023•乙卷）已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝﹣8，则a7＝　 　． 【真题10】（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝　 　，数列{an}的所有项的和为　 　． 三、解答题 【真题11】（2023•新高考Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． （1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通项公式； （2）若{bn}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d． 【真题12】（2023•新高考Ⅱ）已知{an}为等差数列，bn，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16． （1）求{an}的通项公式； （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn． 【真题13】（2023•甲卷）已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn． 【真题14】（2023•乙卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{|an|}的前n项和Tn． 【真题15】（2023•天津）已知{an}是等差数列，a2+a5＝16，a5﹣a3＝4． （Ⅰ）求{an}的通项公式和； （Ⅱ）已知{bn}为等比数列，对于任意k∈N*，若2k﹣1≤n≤2k﹣1，则bk＜an＜bk+1． （i）当k≥2时，求证：2k﹣1＜bk＜2k+1； （ii）求{bn}的通项公式及其前n项和． 【真题16】（2023•北京）数列{an}，{bn}的项数均为m（m＞2），且an，bn∈{1，2，⋯，m}，{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，并规定A0＝B0＝0．对于k∈{0，1，2，⋯，m}，定义rk＝max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，⋯，m}}，其中，maxM表示数集M中最大的数． （Ⅰ）若a1＝2，a2＝1，a3＝3，b1＝1，b2＝3，b3＝3，