专题04 导数及其应用讲义-2024年高考数学三轮冲刺

专题04 导数及其应用 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 专题定位 高考频度 ★★★★★ 考情分析 高考数学中，导数及其应用这个考点考查原函数和导函数的关系，考查求导公式，导数几何意义及导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值最值、函数零点问题．体会数形结合思想，分类讨论思想，化归和转化思想。 真题解读 一、选择题 【真题1】（2023•甲卷）曲线y在点（1，）处的切线方程为（　　） A．yx B．yx C．yx D．yx 【真题2】（2023•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（　　） A．e2 B．e C．e﹣1 D．e﹣2 二、多选题 【真题3】（2023•新高考Ⅱ）若函数f（x）＝alnx（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜0 三、填空题 【真题4】（2023•乙卷）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是　 　． 考向突破 考向1 导数与单调性 解法技巧 用导数研究函数单调性的步骤： （1）确定f(x)的定义域． （2）计算导数f ′(x)． （3）求出f ′(x)＝0的根． （4）用f ′(x)＝0的根将f(x)的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f ′(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间． （5）f ′(x)＞0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间． （6）f ′(x)＜0，则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【模拟01】（2024•红谷滩区校级模拟）若函数f（x）＝sinxcosx+asinx﹣3x﹣3在（﹣∞，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣2，1] C．[﹣2，2] D．[﹣1，2] 【模拟02】（2024•金凤区校级一模）设a＝1.7，b＝tan1.1，c＝2ln2.1，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c 【模拟03】（2024•吴忠模拟）已知f'（x）是函数f（x）的导数，且f（﹣x）＝f（x），当x≥0时，f'（x）＞3x，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＜3x的解集是（　　） A． B． C． D． 【模拟04】（2024•铜川二模）已知函数f（x）＝[a（x﹣1）﹣2lnx]ex在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为　 　． 【模拟05】（2024•铜川二模）已知函数在区间（2m﹣2，3+m）上不单调，则m的取值范围是　 　． 考向2 导数与极值最值 解法技巧 一、求函数f(x)的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x)． （2）求方程f ′(x)＝0的根． （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f ′(x)在方程根左右的值的符号． （4）如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值． （5）如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． （6）如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值． 二、求函数f(x)的最值： （1）求f(x)在(a，b)内的极值． （2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值． 【模拟01】（2024•岳阳模拟）函数f（x）＝6+12x﹣x3的极小值点为（　　） A．（4，﹣10） B．（﹣2，﹣10） C．4 D．﹣2 【模拟02】（2024•河南模拟）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则f（x）的极值点为（　　） A．或 B． C．或 D． 【模拟03】（2024•齐齐哈尔二模）已知函数f（x）＝e2x+（x﹣2a）ex+a2（a∈R）的最小值为g（a），则g（a）的最小值为（　　） A．﹣e B． C．0 D．1 【模拟04】（2024•香坊区校级二模）已知函数f（x）的导函数f′（x）＝（x+2）（x2+x+m），若﹣2是函数f（x）的极大值点，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣2，+∞） B．（﹣4，﹣2] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2） 【模拟05】（2024•辽宁一模）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝﹣1处有极值8，则f（1）等于　 　． 考向3 导数与切线 解法技巧 切线方程： （1）找到切线的斜率． （2）若点是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来． 【模拟01】（2024•德阳模拟）已知直线y＝ax﹣1与曲线f（x）＝ln（ex）相切，则a的值为（　　） A． B．1 C． D．e 【模拟02】（2024•广东