精品解析：上海市华东师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

华东师大遗附中2023学年第二学期高二年级 期中考试数学试题 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线的倾斜角为________. 2 若直线与平行，则________. 3. 直线过点，法向量为，则的一般式方程为________. 4. 若一个球体积为，则该球的表面积为_________． 5. 正四面体中，则其侧面与底面的二面角的余弦值等于__________________ 6. 的二项展开式中的常数项为________．（结果用数字表示） 7. 已知个人排成一列，设事件表示“甲乙两人不能排在一起”，事件表示“丙必须排在前两位”，若，则________. 8. 如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________. 9. 已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为________. 10. 已知双曲线的右顶点为，点都在上，且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则的渐近线方程为________. 11. 已知直棱柱的高为，底面三角形的三边长分别为．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱的表面积小，那么正数的取值范围是________. 12. 已知是曲线上的动点，则的取值范围是________. 二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 设是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穂长度情况，那么下列说法错误的是（ ） A. 小麦麦穗长度的极差是3.9 B. 小麦麦穗长度的中位数等于众数 C. 小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D. 小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件 C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件 16. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（ ） A. 最小值为的最小值为 B. 的最小值为的最大值为 C. 的最小值大于的最小值大于 D. 的最大值小于的最大值小于 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知直线，圆． （1）求直线与圆相交所得的弦长； （2）求圆关于直线对称所得的圆的方程． 18. 如图，圆锥的底面半径为3，圆锥的表面积为． （1）求圆锥的体积； （2）设是底面圆周上的两点，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． （1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） （2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 20. 已知抛物线的焦点为，过在第一象限上的任意一点作的切线，直线交轴于点．过作的垂线，交于两点． （1）若点在的准线上，求直线的方程； （2）求的中点的轨迹方程； （3）若三角形面积为，求点坐标． 21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，为上异于的点．设直线的斜率分别为． （1）若三角形的面积为2，求点的坐标； （2）若，证明：直线过定点； （3）若，求满足关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华东师大遗附中2023学年第二学期高二年级 期中考试数学试题 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线的倾斜角为________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的一般方程可以求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角之间的关系可得. 【详解】因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则 故答案为： 【点睛】本题考查了直线的斜率和直线的倾斜角之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2. 若直线与平行，则________. 【答案】 【解析】 【分析】