北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

北师大二附中2025届高二第二学期期中数学试题 一、单选题 1. 在等差数列 中,若 ,则 A. B. C. D. 2. 已知数列 的一个通项公式为 ,则 是该数列的 A. 第 项 B. 第 项 C. 第 项 D. 不是数列中的任何一项 3. 《九章算术》之后,人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题,如《张邱建算经》卷上第 题为利用等差数列求和公式解决织布问题.若有一女善织布,从第 天起每天比前一天多织相同量的布,第一天织 尺布,一个月(按 天计)共织 尺布,则第 天织布的尺数为 A. B. C. D. 4. 如图,函数 在 , 两点间的平均变化率是 A. B. C. D. 5. 已知等比数列 的各项均为正数,其前 项和为 ,若 ,,则 A. B. C. D. 6. 李明自主创业种植有机蔬菜,并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务,甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔 天、 天、 天、 天去配送一次.已知 月 日李明分别去了这四家超市配送,那么整个 月他不用去配送的天数是 A. B. C. D. 7. “十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 ,则第八个单音的频率为 A. B. C. D. 8. 已知等比数列 公比为 ,其前 项和为 ,若 ,, 成等差数列,则 等于 A. B. C. 或 D. 或 9. 在等比数列 中,,若函数 ,则 A. B. C. D. 10. 设 是定义在 上的恒不为零的函数,对任意实数 ,都有 ,若 ,,则数列 的前 项和 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题(共5小题;共10分) 11. 已知 是等差数列,若 ,,则 . 12. 已知函数 ,且 ,那么 的值为 . 13. 是正项等比数列 的前 和,,,则 .公比 . 14. 将一个边长为 的正方形铁片的四角截去四个边长为 的小正方形,做成一个无盖方盒.当方盒的容积 取得最大值时, 的值为 . 15. 小明用数列 记录某地区 年 月份 天中每天是否下过雨,方法为:当第 天下过雨时,记 ,当第 天没下过雨时,记 ;他用数列 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第 天有雨时,记 ,当预报第 天没有雨时,记 ;记录完毕后,小明计算出 ,那么该月气象台预报准确的总天数为 ;若 ,则气象台预报准确的天数为 (用 , 表示). 三、解答题 16. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,. (1)求数列 的通项公式; (2)求 的最小值. 17. 已知在直三棱柱 中,,,直线 与平面 成 的角. (1)求三棱锥 的体积; (2)求二面角 的余弦值. 18. 已知函数 的图象是曲线 ,直线 与曲线 相切于点 . (1)求函数 的解析式; (2)求函数 的递增区间; (3)求函数 在区间 上的最大值和最小值. 19. 已知函数 . (1)若 ,求 的取值范围; (2)证明:若 有两个零点 ,,则 . 20. 已知椭圆 : 过点 ,且 . (1)求椭圆 的方程. (2)设 为原点,过点 的直线 与椭圆 交于 , 两点,且直线 与 轴不重合,直线 , 分别与 轴交于 , 两点.求证: 为定值. 21. 约数,又称因数.它的定义如下:若整数 除以整数 得到的商正好是整数而没有余数,我们就称 为 的倍数,称 为 的约数.设正整数 共有 个正约数,即为 ,,,, . (1)当 时,若正整数 的 个正约数构成等比数列,请写出一个 的值; (2)当 时,若 ,,, 构成等比数列,求正整数 的所有可能值; (3)记 ,求证:. 答案 1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. B 7. D 8. A 9. C 10. C 11. 12. 13. , 14. 15. , 16. (1) 设等差数列 的公差为 , 则由条件得 解得 所以 . …… …… 5分 (2) 由()知 , 令 ,得 , 所以数列 的前 项和 是 的最小值, 即 . …… …… 13分 17. (1) 因为 , 所以 . 又 , 所以 ,. 因为 ,, 所以 . 所以 . 所以 . …… …… 5分 (2) 建立如图所示空间直角坐标系. 由题意,得:,, 设平面 的一个法向量为 , 则 即 令 则 . 同理,可得:平面 的一个法向量为 . 设 , 的夹角为 ,则 , 又观察知二面角 为锐角, 所以二面角 的余弦值是 . …… …… 14分 18. (1) 因为切点为 ,所以 ,得 . 因为 ,所以 ,得 . 则 . 由 得 .所以 . …… …… 5分 (2)