专题14 全等三角形辅助线之倍长中线模型（中档题，30题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

专题14 全等三角形辅助线之倍长中线模型（中档题，30题）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（    ） A．1 B．2 C．5 D．8 3．已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．在中，，，则边上的中线的取值范围是（　　） A． B． C． D．无法确定 5．在中，为的中线，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．无法确定 6．在中，，，那么中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．如图中，是中线，，，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 8．如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为 ． 10．如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．    三、解答题 11．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是　　． ．      ．      ．        ． （2）求得的取值范围是　　． ．   ．  ．  ． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 12．如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． (1)请写出与的数量关系，并说明理由． (2)延长交于点F，求的度数． 13．下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，，求的取值范围．    请将下面的解题过程补充完整 解：延长至点E，使，连接．    ∵是的中线， ∴__________， 在和中， ∴（__________填判定定理用字母表示） ∴_________， 在中，根据“三角形三边关系可知： __________________ 又∵ ∴__________________ 14．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 15．如图，已知是的中线，且．求证：． 16．如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围． 17．【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：． 【拓展应用】 如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长． 18．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得 ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　 　； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 19．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：    (1)由已知和作图能得到的