专题09 全等三角形综合问题（压轴题，20题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题09 全等三角形综合问题（压轴题，20题）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为，，，另一个三角形的三边长分别为，，． (1)求，的值； (2)若分别以，，为边长的三角形存在，试确定，的值，并说明理由； (3)当边长小于边长时，在以，，为边长的三角形中，边长为的边上的中线长度为，请直接写出的长度取值范围． 2．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当P在 上， ___________时， 的面积等于 面积的一半； (2)如图②，在 中， ．在 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好 与 全等，求点Q的运动速度． 3．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．       4．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    5．综合与探究： 【问题背景】在四边形ABCD中，，，，E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系. (1)【初步探索】如下图，小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可得到BE，EF，FD之间的数量关系是_________. (2)【探索延伸】在下图四边形ABCD中，，，E，F分别是BC，CD上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由. (3)【结论运用】如下图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角()为70°，直接写出此时两舰艇之间的距离. 6．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 7．如图1，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．    (1)如图1，当 时，； (2)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 8．和是两个等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，． (1)如图1，判断CD与BE的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图1，若AB=4，AC=3．则四边形DBCE面积的最大值是______； (3)如图2，过点A作于点P，延长PA交DE于点Q．试说明点Q为DE的中点． 9．已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，