专题08 全等三角形的辅助线问题（三大模型，30题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题08 全等三角形的辅助线问题（三大模型，30题）（原卷版） 目录 一、模型一：倍长中线模型，10题 1 二、模型二：垂线模型，10题 5 三、模型三：证一条线段等于两条线段和差，10题 8 一、模型一：倍长中线模型，10题 1．如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为 ． 4．如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．    5．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是　　． ．      ．      ．        ． （2）求得的取值范围是　　． ．   ．  ．  ． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 6．如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接． (1)请写出与的数量关系，并说明理由． (2)延长交于点F，求的度数． 7．下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，，求的取值范围．    请将下面的解题过程补充完整 解：延长至点E，使，连接．    ∵是的中线， ∴__________， 在和中， ∴（__________填判定定理用字母表示） ∴_________， 在中，根据“三角形三边关系可知： __________________ 又∵ ∴__________________ 8．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 9．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 10．如图，已知是的中线，且．求证：． 二、模型二：垂线模型，10题 11．已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为 ．    12．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 13．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ ． 14．如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 15．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 16．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 17．如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由． 18．