专题09 因式分解的应用（新题速递，30题）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题09 因式分解的应用（新题速递，30题）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，都是正整数，其中，且，设，则（    ） A．3 B．69 C．3或69 D．2或46 2．已知，则的值是（    ） A． B．24 C． D．10 3．已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 4．阅读材料：若（为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（为常数）有一个因式为，则因式分解 ． 5．已知，则代数式的值为 ． 6．若一个正整数可以表示为，其中为大于3的正整数，则称为“优雅数”，为的“优点”．例如，称14为“优雅数”，5为14的“优点”． （1）“优雅数”50的“优点”为 ； （2）的“优点”为的“优点”为，若，且，则的值为 ． 7．若多项式可分解为，则的值为 ． 8．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）． 9．已知实数a，b，c满足：，且，则 ． 10．对于一个三位正整数m，如果m满足：三个数位上的数字之和等于15，那称这个数为“和平数”，如，∴762是“和平数”； ，∴358不是“和平数”．满足条件的最大“和平数”是： ；若p，q都是“和平数”， ，，，均为的整数），规定，若是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若与的和能被21整除，则的值为 ． 11．如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数为“八喜数”，把数分解成的过程，称为“八喜分解”． 例如；22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，故572是“八喜数”． 把一个“八喜数”进行“八喜分解"，即，与之和记为，与之差记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值与最小值的差是 ． 12．对于一个三位自然数，将各个数位上的数字分别3倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：，例如：，其各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：3，9，8，则．若已知两个三位数，（，为整数，且，），若能被17整除，则的最大值是 ． 三、解答题 13．阅读材料：若，求m、n的值． ， ， ， ．根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值 14．阅读下列解题过程并完成相应的任务： 已知为的三边，且满足，试判断的形状． 解：， ， ， 为直角三角形． 任务： (1)上述解题过程中，开始出现错误的是______（填序号）． (2)错误的原因是______． (3)的形状可以是______（填写相应的字母）． ．等腰三角形    ．直角三角形    ．等腰直角三角形 15．【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵，． ∴，即． ∴． ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 16．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是幸福数． (1)36和2016这两个数是幸福数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的幸福数是4的倍数吗？为什么？ (3)介于1到200之间的所有“幸福数”之和为 ， 17．阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设，则：原式． 问题： (1)以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解； (3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算： ． 18．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分