中考难点03 几何证明压轴题（2题型+满分技巧+限时检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

中考难点03 几何证明压轴题 （2题型+满分技巧+限时检测） 几何探究综合题从2020年开始作为解答题的最后一题进行考查,常涉及旋转、动点问题,难度较大。一般三个设问,常考查线段间关系、线段最值等问题,常与中点、角平分线、四点共圆等知识结合,灵活度高，着重考查学生的综合能力.平时练习时熟练掌握角平分线模型、中点模型、线段最值模型、隐圆模型等,加强此题型的练习。 目录 【题型1 求最值】 1 【题型2 利用最值求值】 19 【题型1 求最值】 满分技巧 此类题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，垂径定理，一点到圆上的距离的最值问题，还需掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的有关性质、翻折性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 【例1】．（2024学年重庆市第八中学校九年级下学期第一次强化训练）如图，在直角中，．点D为内一点，且，E为线段的中点，连接．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，连接，若，，过点E作交于F，求证：； (3)如图3，过点D作于点M，于点N，连接，若，，求的最小值． 【变式1-1】．（重庆市第八中学校2023-2024学年九年级下学期第5次作业）在中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若，，．求的长． (2)如图2，若，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，延长交于点F，点G是的中点，连接．若，求证：． (3)如图3所示，若，E是上一点，且，延长到F使得，G是上一点，且，M是平面内任意一点，将沿着翻折，将点G翻折到处，求长度的最大值． 【变式1-2】．（重庆市沙坪坝区第八中学校2023-2024学年九年级下学期3月月考）在△ABC中，AC＝BC，D为△ABC外一点，连接CD． （1）如图1，若∠ACB＝60°，CD∥AB，连接BD交AC于点E，且CD＝2AB＝2，求S△BCE． （2）如图2，CE＝CD，∠ECB＝∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG＝EC，M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN＝BF． （3）如图3，若∠ACB＝90°，CD∥AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD'，连接DD'，BD'，且AC＝，求BD'的最小值． 【变式1-3】．（重庆市第八中学2023-2024学年九年级下学期数学月考）在中，，，D为上任意一点，E为上任意一点． (1)如图1，连接，若，，求的长． (2)如图2，若点D为中点，连接，点F为上任意一点，连接并延长交于点M，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点N在上，且，求证：． (3)如图3，点D为中点，连接，点F为的中点，连接、，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最大值． 【变式1-4】（重庆市第十八中学2023-2024学年 九年级下学期第一次月考）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连． (1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 【题型2 利用最值求值】 满分技巧 此类题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．熟练掌握各种最值模型例如费马点、胡不归等，知道达到最值具备的条件，逆向思维解决此类问题。 【例2】．（重庆市第十八中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考）把的边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接． (1)如图1，已知，，．求的长； (2)如图2，求证：； (3)如图3，已知，将沿着直线折叠，得到、连接是直线上的一个动点，当最小时值为，请直接写出的面积． 【变式2-1】．（重庆市巴蜀中学校2023-2024学年九年级下学期期中）如图，在中，，于点D，交于点E，于点F，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，点M为外一点，满足，，，连接．当最大时，直接写出的面积． 【变式2-2】．（2023年重庆市铜梁区巴川中学中考数学模拟预测）已知如图，在中，，点是上一点，； (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点是直线上一点，点关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积．​ 【变式2-3】．（重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年九年级下学期3月）已知为等边三角形，分别为线段，上一点，，与交于