中考难点02 二次函数存在性问题四边形类和三角形类（5题型+满分技巧+限时检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

中考难点02 二次函数存在性问题四边形类和三角形类 （5题型+满分技巧+限时检测） 二次函数是中考数学的必考考点，本题型常以解答题的形式出现，考查类型为线段最值(含周长)问题、面积最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题，常结合二次函数的性质、相似或全等三角形的性质、图形的平移、图形的旋转等知识进行综合考查.本题型几乎每年作为压轴题考查,其中探究设问常以三角形周长、面积或线段最值为起始,确定一个点后，再以该点为定点确定两条或三条线段和的最小值(将军饮马模型的应用)，或者以平移、旋转为背景,探究特殊图形(如平行四边形、菱形、等腰三角形等)，综合考查学生的几何直观、模型观念等核心素养,同时着重培养学生数形结合思想、动态探究和静态分析等数学思维.二次函数综合题体现了数形结合思想和方程思想，对我们能力的要求比较高，解决此类问题的关键是要提高我们的数学建模俞力、阅读理解能力和运算能力。 目录 【题型1 存在性平行四边形类】 1 【题型2 求度数不含辅助线】 14 【题型3 求度数不含辅助线】 28 【题型4 求度数不含辅助线】 44 【题型5 求度数不含辅助线】 54 【题型1 存在性平行四边形类】 满分技巧 此类题考查的是二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，解直角三角形，二次函数图象的平移，二次函数求最值，平行四边形的判定等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【例1】．（2023年重庆市九龙坡区九年级下学期5月模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)在线段上有一动点D，过点D作交抛物线于点E，过点E作y轴的平行线交于点F，求的最大值以及此时点E的坐标； (3)如图2，将抛物线沿x轴向右平移2个单位长度，又沿y轴向下平移5个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线与x轴的两个交点中左侧的交点，点M是新抛物线的对称轴上的一点，点N是新抛物线上一动点，点E为在（2）的条件下求出的点E，当以、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【变式1-1】．（重庆市第八中学校2023-2024学年九年级上学期11月月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、，是直线上方抛物线上一动点，过点作交于点，求的最大值； (3)现将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线相交于点．点为新抛物线对称轴上一动点，为原抛物线上一动点，若以、、、K为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【变式1-2】．（重庆市南开中学校2023-2024学年九年级上学期12月月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与x轴交于、B两点，交y轴于点C，连． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D为线段上一动点，过点D作交y轴右侧的抛物线于点E，过E作交于点F，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移个单位，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为原抛物线上一点，当四边形为平行四边形时，请求出点M到直线的距离． 【变式1-3】．（重庆市第十八中学2022-2023学年九年级上学期12月）已知，如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是第三象限抛物线上的动点，当四边形面积最大时，求出此时面积的最大值和点的坐标． (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在原抛物线的对称轴上，为平移后的抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【变式1-4】．（重庆市九龙坡区育才中学2023-2024学年上学期九年级9月月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点P为抛物线在直线下方的一动点，作轴，，分别交于点、F，求的最大值和此时点P的坐标； (3)如图2，过点B作直线的平行线交y轴于点D，在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度，得到新抛物线，点R在新抛物线的对称轴上，点S在抛物线上．当以点D、P、R、S为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点S的坐标． 【题型2 求度数不含辅助线】 满分技巧 此类题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法，三角形面积，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，中点坐标公式，两点间距离等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是用含字母的式